Implicitization de surfaces algébriques rationnelles avec la méthode des syzygies

Implicitization of rational algebraic surfaces with syzygy-based methods

• Auteur / Autrice : Marc Dohm
• Direction : André Galligo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique matricielle

Algèbres commutatives

Approximation, Théorie de l'

Syzygies (mathématiques)

Géométrie algébrique

Résumé

L'implicitisation d'une surface algébrique rationnelle, c'est-à-dire le passage de la paramétrisation à une représentation implicite, est un problème géométrique classique. Dans ce travail de thèse, nous utilisons la théorie des syzygies pour représenter implicitement une surface par une matrice dont les mineurs de taille maximale ont l'équation implicite comme plus grand diviseur commun. Dans les deux premiers chapitres, nous traitons deux classes de surfaces spéciales pour lesquelles il est toujours possible de construire une matrice carrée qui correspond au résultant d'une mu-base : les surfaces réglées et les surfaces canales. Dans les chapitres suivants, le cas général de surfaces rationnelles paramétrées sur une variété torique de dimension 2 est étudié. Nous montrons qu'une telle matrice peut être construite en n'utilisant que des syzygies linéaires et nous décrivons un algorithme simple et efficace pour son calcul.

The implicitization of a rational algebraic surface, i. E. The passage from a parametrization to an implicit representation, is a classical geometric problem. In this thesis we use the theory of syzygies to represent a surface implicitly by a matrix whose maximal-sized minors have the implicit equation of the surface as their greatest common divisor. In the first two chapters, we treat two special classes of surfaces for which it is always possible to construct a square representation matrix corresponding to the resultant of a mu-basis: ruled surfaces and canal surfaces. In the following chapters, the general case of rational surfaces parametrized over a two-dimensional toric variety is studied. We show that a representation matrix can be constructed only using linear syzygies and we give a simple and efficient algorithm for its computation.