Etude mathématique et numérique de méthodes d'éléments finis étendues pour le calcul en domaines fissurés

by Elie Chahine

Doctoral thesis in Mathématiques appliquées

Under the supervision of Patrick Laborde.

defended on 2008

in Toulouse, INSA .

  • Alternative Title

    Mathematical and numerical study of extended finite element method for fractured domains computations


  • Abstract

    In the first part of this thesis, we introduce two XFEM variants allowing to obtain optimal convergence results for XFEM with a reduced computational cost. The first one, the XFEM with a cutoff function, consists in the introduction of a globalized singular enrichment via a localization function around the crack tip. In the second variant, the singular enrichment is defined globally over a subdomain containing the crack tip. Then, this subdomain is bonded with the rest of the cracked domain using a weak integral matching condition. This approach enhances the approximation with respect to the first one. The second part is dedicated to the introduction of two other XFEM methods allowing to extend the application field of XFEM, while getting benefit of the advantages of the former variants. In the first one, the Spider XFEM, the dependence in theta of the exact singular enrichment is replaced by an approximation computed over an adapted circular mesh. Meanwhile, in the second approach, the reduced basis XFEM, an approximation of the whole singularity, computed on a very refined mesh of a cracked domain, is used as singular enrichment. These two variants allow to use XFEM in some cases when the singularity is partially or completely unknown, or even when it's exact expansion is complicated. We prove mathematical optimal convergence results for these approaches and we perform different numerical experiments that validate the theoretical study


  • Abstract

    Dans la première partie de cette thèse, on introduit deux variantes XFEM qui permettent d'obtenir des convergences optimales avec XFEM tout en réduisant le coût de calcul. La première, la méthode XFEM avec une fonction cutoff, consiste à introduire un enrichissement singulier globalisé au voisinage du fond de la fissure via une fonction de localisation. Dans la deuxième, l'enrichissement singulier est introduit globalement sur un sous domaine contenant le fond de fissure. Ensuite, ce sous domaine est raccordé avec le reste du domaine fissuré avec une condition faible de raccord intégral. Cette approche permet d'améliorer l'approximation par rapport à cutoff XFEM. La deuxième partie est dédiée à l'introduction de deux nouvelles variantes qui permettent d'étendre le champ d'applications de XFEM standard, tout en bénéficiant des avantages des méthodes proposées précédemment. La première, Spider XFEM, consiste à remplacer la dépendance en thêta de l'enrichissement singulier exact par une approximation éléments finis calculé sur un maillage circulaire adapté. Dans la deuxième, Reduced Basis XFEM, on utilise, comme enrichissement singulier, une approximation éléments finis de toute la singularité, réalisée sur un maillage raffiné d'un domaine fissuré. Contrairement à XFEM standard, ces deux dernières permettent d'utiliser XFEM dans des cas où l'expression de la singularité est partiellement ou totalement inconnue, voire très compliqué. On démontre des résultats mathématiques de convergence optimale pour les variantes proposées. On réalise aussi différents tests numériques qui valident les résultats théoriques obtenues

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Informations

  • Details : 1 vol. (136 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 125-132

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  • Odds : 2008/927/CHA
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