Flow of homeomorphisms associated to stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients

• Auteur / Autrice : Dejun Luo
• Direction : Shizan Fang, Fengyu Wang
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Homéomorphismes

Résumé

L’objet de la thèse est d’étudier des équations différentielles ordinaires ou stochastiques au-delà du cadre lipschitzien. Elle est composée de trois parties. Dans la première partie, nous étudierons des équations différentielles stochastiques, sous les hypothèses que ses coefficients de diffusion sont réguliers, mais le terme de dérive satisfait seulement à la condition de Osgood générale ; nous montrerons que les solutions définissent un flot stochastique d’homéomorphismes globaux. De plus, nous montrerons divers résultats de stabilité, ou bien par l’approximation du type de Wong-Zakai, ou bien par perturber le drift. Finalement dans le cas où le coefficient de dérive admet une divergence généralisée qui est localement carré intégrable, nous construirons une solution explicite à l’équation correspondante de transport stochastique; ce qui permet de démontrer, si la divergence généralisée est bornée, le flot stochastique d’homéomorphismes laisse la mesure de Lebesgue quasi-invariante. Nous étudierons dans la deuxième partie la régularité des solutions des équations différentielles (stochastiques) avec des coefficients du type log-lipschitzien. Nous montrerons que, si l’exposant du logarithme est strictement inférieur à 1, alors presque sûrement, sa solution est höldériennes d’ordre quelconque. Par conséquent, sous le flot, la dimension de Hausdorff des sous-ensembles ne croît pas; la dimension de Hausdorff reste invariante dans le cas d’équations différentielles ordinaires. Lorsque l’exposant du logarithme est égal à 1, l’ordre höldérien de solution décroît exponentiellement avec le temps ; nous montrerons, si la divergence généralisée du coefficient d’équation différentielle ordinaire est localement bornée, alors la mesure de Lebesgue est quasi-invariante sous le flot défini par l’équation. La dernière partie sera consacrée au flot stochastique isotrope d’exposant de Sobolev critique sur. Nous montrerons que le flot est un flot stochastique d’homéomorphismes. Enfin la partie d’appendice concerne une généralisation de la théorie de DiPerna- Lions-Ambrosio sur l’espace de Wiener.

This thesis consists of three parts. In the first part, we study the Stratonovich stochastic differential equation with singular drift coefficient. Under the assumptions that its diffusion coefficients are smooth, but the drift satisfies only the general Osgood condition, we prove that its solution is a stochastic flow of homeomorphisms. In the case that the drift satisfies a somewhat special non-Lipschitz condition, we prove that the Wong-Zakai type limit theorem holds; by regularizing the drift, we obtain another limit theorem. Finally assuming that the generalized divergence of the drift coefficient is locally square integrable, we construct an explicit solution to the corresponding stochastic transport equation; if moreover the generalized divergence is bounded, then it turns out that the homeomorphic flow leaves the Lebesgue measure quasi-invariant. We consider in the second part the regularity of solutions to (stochastic) differential equations with log-Lipschitz coefficients. We prove that almost surely, its solutions are Hölder continuous of any order. Therefore under the map of the solution, the Hausdorff dimension of any subset does not increase; in particular, the Hausdorff dimension remains invariant in the case of ordinary differential equation. Moreover, if the generalized divergence of the coefficient of the ordinary differential equation is locally bounded, then the Lebesgue measure is quasi-invariant under the action of the solution. In part three, we study the critical isotropic stochastic flow on , and we prove that the solution to the corresponding Itô stochastic differential equation is a stochastic flow of homeomorphisms. Finally the appendix concerns the generalization of the DiPerna-Lions-Ambrosio theory to the Wiener space.