Algebraic and combinatorial properties of non-standard numeration Systems

• Auteur / Autrice : Petr Ambroz̆
• Direction : Christiane Frougny
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps algébriques

Analyse combinatoire

Numération

Histoire

Arithmétique

Mots clés libres

Beta-numeration

Arithmétique en base non entière

Développements alpha-adiques

Résumé

L'objet de ce travail est une étude de systèmes de numération réunis sous le nom de beta-numération. La beta-numération se distingue de la numération en base entière en ce qu'elle admet n'importe quel nombre réel beta>\ comme base. Un nombre réel peut avoir plusieurs représentations en base beta. On associe à tout nombre réel x une représentation canonique, appelé le beta-développement de x. On définit deux sous-ensembles de nombres réels: l'ensemble Zb des nombres tels que leur beta-développement a une partie fractionnaire vide (appelé nombres beta-entiers) et l'ensemble Fin des nombres tel que leur beta-développement a une partie fractionnaire finie. Nous dérivons une nouvelle condition nécessaire et deux conditions suffisantes pour que l'ensemble Fin soit stable pour l'addition et la multiplication. Ensuite nous nous intéressons aux valeurs Lp et Lt qui indiquent la longueur maximale de la partie fractionnaire de la somme et du produit de deux beta-entiers. Nous calculons les estimations supérieures de Lp et Lt dans le cas des nombres de Tribonacci généralisés et aussi pour une autre classe de nombres de Pisot cubiques. Nous étudions ensuite une autre façon de représenter les nombres. Il s'agit de la représentation alpha-adique, c'est-à-dire du système de position dont la base est un nombre alpha, qui est conjugué algébrique d'un nombre de Pisot beta. Nous montrons qu'un nombre x est un élément du corps Q(alpha) si et seulement si son développement alpha-adique est ultimement périodique à gauche. Ensuite, nous nous intéressons au développement des éléments de l'anneau Z[alpha]. A la fin nous étudions la complexité palindromique des mots infinis apériodiques ub qui sont point fixe d'une substitution associée à un nombre de Parry simple beta. Nous montrons une condition nécessaire pour que le mot ub contiennent un nombre infini de palindromes, nous donnons une relation entre la complexité en facteurs et la complexité palindromique, et aussi une description complète de l'ensemble des palindromes, de sa structure et de ses propriétés.

This thesis is devoted to the study of the so-called beta-numeration Systems. The beta-numeration differs from the usual numeration with an integer base by allowing an arbitrary real number beta>l to be the base. A real number may have several representations in such a base beta. We associate with each real number x a unique canonical representation, called the beta-expansion of x. We define two subsets of real numbers: Zb, the set of real numbers having an empty fractional part in their beta-expansion (the so-called beta-integers) and Fin, the set of numbers with a finite fractional part in their beta-expansion. We derive one necessary and two sufficient conditions for Fin to be closed under addition and subtraction. Then we inspect the values of Lp and Lt, that is, the maximal length of the fractional part of sum and product of two beta-integers. We compute upper bounds on Lp and Lt in the case of the generalized Tribonacci number and in the case of a class of totally real cubic Pisot numbers. Then we study another way of representations of numbers. It is called the alpha-adic representation and it is a representation in the numeration System with base alpha, where alpha is an algebraic conjugate of a Pisot number beta. We prove that a number x belong to the field Q(alpha) if and only if it has an eventually periodic alpha-adic expansion. Then we consider alpha-adic expansions of elements of the extension ring Z[alpha]. At the, end we study the palindromic structure of infinite aperiodic words ub associated with simple Parry numbers. We show a necessary condition for the word ub to contain infinitely many palindromes, we find a relation between factor and palindromic complexity and then a complete description of the set of palindromes, its structure and properties