Thèse soutenue

Empilements de sphères et bêta-entiers

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Jean-Louis Verger-Gaugry
Direction : Roland Gillard
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Résumé

FR  |  
EN

Les objets considérés dans cette thèse sont les empilements de sphères égales, principalement de Rn, et les beta-entiers, pour lesquels on utilise indifféremment le langage des empilements de sphères ou celui des ensembles uniformément discrets pour les décrire. Nous nous sommes concentrés sur les problèmes suivants : (i) aspects métriques et topologiques de l'espace des empilements de sphères pour lequels nous prouvons un théorème de compacité qui généralise le Théorème de Sélection de Mahler relatif aux réseaux, (ii) les relations entre trous profonds et la densité par la constante de Delone ainsi que la structure interne asymptotique, en couches, des empilements les plus denses, (iii) les empilements autosimilaires de type fini pour lesquels nous montrons, pour chacun, l'existence d'un schéma de coupe-et-projection associé à un entier algébrique (l'autosimilarité) dont le degré divise le rang de l'empilement, dans le contexte des quasicristaux mathématiques, (iv) les empilements de sphères sur beta-réseaux, dont l'étude a surtout consisté à comprendre l'ensemble discret localement fini Zbeta des beta-entiers et à proposer une classification des nombres algébriques qui complémente celle de Bertrand-Mathis, reportée dans un article de Blanchard, et où la mesure de Mahler de beta intervient naturellement.