Géométrie des théories conformes 4D

Geometry of 4D conformal theories

• Auteur / Autrice : Michaël Grasseau
• Direction : Richard Grimm, Serge Lazzarini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique mathématique. Physique des particules et modélisation
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences (1969-2011)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Connexions (mathématiques)

G-structures

Géométrie différentielle

Résumé

Les principales structures géométriques et de symétrie des théories conformes bidimensionnelles sont généralisées au cas quadri-dimensionnel. Dans la première partie, la théorie des repères d'ordre quelconque, c'est-à-dire la généralisation des repères ordinaires sur une variété, est formulée dans un langage qui permet de réaliser le parallèle entre la théorie différentielle des jets, la géométrie de Cartan, et la théorie de jauge ordinaire. Dans la deuxième partie, on introduit la notion de géométrie de Cartan, c' est-à-dire le cadre géométrique nécessaire à la construction de la géométrie correspondante à une symétrie donnée. Le formalisme est expliqué sur quelques exemples : le cas de la géométrie riemannienne, et les cas 2D complexe et projectif complexe. Dans la troisième partie, le formalisme développé dans les deux premières parties est utilisé pour construire la gravité conforme 4D de façon invariante conforme. La structure résultante généralise celle du cas 2D. La différentielle de Beltrami 4D est construite, et ses propriétés sont déduites. Dans la quatrième et dernière partie, on montre comment la recherche d'un concept d'holomorphie 4D conduit naturellement aux twisteurs. Les espaces de twisteurs en relation avec les structures conformes, et la géométrie correspondante, sont directement construits en terme de géométrie de Cartan. Finalement, on montre comment il est possible de comprendre les surfaces W en tant que courbes de twisteurs.

The main geometrical and symmetry structures of two-dimensional conformal field theories are generalised to the four-dimensional case. In the first part, the theory of higher order frames, that is a generalization of ordinary frames above a manifold, is formulated in a language which enables to realize the parallel between differential jet theory, Cartan geometry, and ordinary gauge theory. In the second part, the notion of Cartan geometry, that is the geometrical framework needed to construct the geometry corresponding to a given symmetry, is introduced. The formalism is explained on some examples : the riemannian geometry one, and the 2D complex, and complex projective, ones. In the third part, the formalism developed in the two first parts is used to construct 4D conformal gravity in a conformally invariant way. The resulting structure generalises the 2D one. The 4D Beltrami differential is constructed, and its properties are derived. In the four and last part, it is shown how the search for a 4D holomorphy concept naturally leads to twistors. Twistor spaces related to conformal structures, and their corresponding geometry, are constructed directly in terms of Cartan geometry. Finally, it is shown how one can understand W-surfaces as twistor curves.