Hypersurfaces cubiques : équivalence rationnelle, R-équivalence et approximation faible

Cubic hypersurfaces : rational equivalence, R-equivalence and weak approximation

• Auteur / Autrice : David Madore
• Direction : Jean-Louis Colliot-Thélène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie arithmétique

Groupe de Brauer

Résumé

Cette thèse présente quelques résultats portant sur l'arithmétique de variétés rationnellement connexes et, plus spécifiquement, des hypersurfaces cubiques, dans trois directions principales : l'équivalence rationnelle, la r-équivalence, et l'approximation faible. Dans la première partie, on décrit de faÇon explicite la spécialisation de la r-équivalence. La seconde est consacrée à la nullité du groupe de chow de 0-cycles de degré 0 sur une hypersurface cubique ayant bonne réduction sur les p-adiques. La troisième montre un résultat d'approximation faible aux places de bonne réduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions. La quatrième montre la r-trivialité des hypersurfaces cubiques de grande dimension sur les p-adiques. La cinquième partie explicite par un calcul la non-nullité du groupe de chow de 0-cycles de degré 0 d'une hypersurface cubique de dimension 3 sur un corps de dimension 2. Enfin, on étudie la r-équivalence très libre sur les variétés toriques.

This thesis presents some results concerning the arithmetic of rationally connected varieties and, more specifically, cubic hypersurfaces, in three main directions: rational equivalence, r-equivalence, and weak approximation. In the first part, we describe explicitly the specialization of r-equivalence. The second part deals with the vanishing of the chow group of 0-cycles of degree 0 on a cubic hypersurface having good reduction over the p-adics. The third shows a result of weak approximation at places of good reduction for cubic surfaces over function fields. The fourth shows the r-triviality of cubic hypersurfaces of large dimension over the p-adics. The fifth part shows, by an explicit computation, the non-vanishing of the chow group of 0-cycles of degree 0 of a certain cubic hypersurface of dimension 3 over a field of dimension 2. Finally, we study very free r-equivalence on toric varieties.