Représentations de groupes topologiques et étude spectrale d'opérateurs de décalage unilatéraux et bilatéraux
Auteur / Autrice : | Sébastien Dubernet |
Direction : | Jean Esterle |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et informatique. Mathématiques pures |
Date : | Soutenance en 2005 |
Etablissement(s) : | Bordeaux 1 |
Mots clés
Résumé
"D'abord nous étudions la continuité d'une représentation \theta du groupe topologique G dans une algèbre de Banach A en fonction du comportement de \limsup_{u \tend 1}\| \theta(u)-I \|, où 1 désigne l'élément unité de G et I celui de A. Nous obtenons aussi des résultats de continuité automatique pour une large catégorie de représentations de groupes. Nous étudions ensuite, dans des cas concrets le spectre de l'opérateur S_M: E/M \tend E/M défini par S(f+M)=Sf +M, i. E. La compression de S à E/M où E est un espace de Banach, S:E \tend E un opérateur borné et M un sous-espace vectoriel fermé invariant par S, c'est-à-dire vérifiant S(M) \subset M. D'abord nous nous plaçons dans des espaces de Banach E de fonctions analytiques sur le disque unité pour lesquels le shift usuel S:z \mapsto zf et le shift arrière T: f \mapsto \frac{f-f(0)}{z} ont leur spectre égal au cercle unité et vérifient la condition de non-quasianalyticité. Nous montrons que si f \in M admet une extension analytique à \D \cup D(\zeta,r), avec |\zeta|=1, f(\zeta)\neq 0, alors \zeta \notin Spec(S_M). Nous appliquons ce résultat à l'espace de Hardy pondéré H_{\sigma_{\alpha}}(\D), avec \sigma_{\alpha}(n)=e^{-n^{\alpha}}, n \geq 0, \alpha \in (1/2,1). Enfin nous étudions une situation quasianalytique, celle des espaces l^2(w,\Z) à poids "\log-impairs". Soit L un arc fermé non vide du cercle unité; nous montrons que la construction de Y. Domar de sous-espaces invariants par translations pour les espaces l^2(w,\Z) vérifiant une condition naturelle de régularité, permet d'obtenir des sous-espaces M_L tels que Spec (S_{M_L})=L, où S: (u_n)_{n \in \Z} \mapsto (u_{n-1})_{n \in \Z} désigne le shift bilatéral usuel. "