Processus associés à l'équation de diffusion rapide : étude asymptotique du temps de ruine et de l'overshoot

• Auteur / Autrice : Agnès Volpi
• Direction : Pierre Vallois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Renouvellement, Théorie du

Développements asymptotiques

Lévy, Processus de

Analyse stochastique

Équations différentielles paraboliques

Dispersion (mathématiques)

Théories non linéaires

Résumé

I- Processus de diffusion rapide. Nous démontrons l'existence et l'unicité d'un processus associé à l'équation de diffusion rapide pour une large classe de données initiales. Nous montrons la convergence vers la solution associée à la masse de Dirac en 0. II- Etude asymptotique de la ruine et de l'overshoot. Soit Tx, le premier temps d'atteinte du niveau x par un processus de Lévy. Soit Kx l'overshoot. Nous obtenons : 1) un développement asymptotique de la transformée de Laplace de la loi du couple (Tx;Kx), quand x tend vers l'infini ; 2) une majoration polynomiale de la probabilité de ruine ; 3) un théorème de convergence en loi pour le couple (Tx;Kx) convenablement renormalisée, quand x tend vers l'infini.

I- Processes of Rapid Diffusion. We check the existence and the unicity of the process associated with the equation of rapid diffusion for a large class of initial data. We show the convergence to the solution associated with the Dirac measure at 0. II- Ruin and Overshoot : Asymptotic Behaviour. Let Tx be the first hitting time of level x > 0 by a Lévy process. Let Kx be the overshoot. We obtain : 1) an asymptotic expansion of the Laplace transform of the distribution of (Tx;Kx), as x tends to infinity ; 2) a polynomial upper bound of the ruin probability ; 3) a convergence in law theorem for the normalized distribution of (Tx;Kx), as x tends to infinity.