Minorations explicites de formes linéaires en deux logarithmes

Explicit lower bounds for linear forms in two logarithms

• Auteur / Autrice : Nicolas [Eric Sylvain] Gouillon
• Direction : Michel Laurent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences (1969-2011)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Interpolation (mathématiques)

Logarithmes

Théorie des nombres

Résumé

Les minorations de combinaison linéaire, à coefficients entiers, de logarithmes de nombres algébriques constituent un outil important dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes. Le cas particulier de deux logarithmes est à cet égard particulièrement utile. Nous utilisons ici, pour l'obtention de ces minorations, la méthode dite de Schneider avec multiplicité. La démonstration repose sur l'utilisation des déterminants d'interpolation et d'un lemme de zéros approprié à ce cadre. Un point important est l'élaboration d'un lemme de zéros, dont la preuve reprend la construction originelle de D. W. Masser, qui s'avère, dans le cadre de la méthode utilisée ici, plus efficace que les résultats généraux précédemment employés. Nous utilisons ensuite une méthode d'encadrement standard, utilisant une inégalité de Liouville et un lemme de Schwarz, pour obtenir une inégalité fondamentale faisant intervenir de nombreux paramètres arbitraires qui permette une grande flexibilité. Nous déduisons de cette dernière une liste de minorations totalement explicites.

The lower bounds for linear combinations with integer coefficients of algebraic number of logarithms are important tools in towards the effective resolution of some diophantine equation classes. On this context the particular case of two logarithms is especially useful. To obtain such lower bounds we use here the so-called Schneider's method with multiplicity. The proof is based on the use of interpolation determinants and on a multiplicity estimate. Our multiplicity estimate, whose proof is reminiscent of the original method due to D. W. Masser, appears, in our case, to be more efficient than the general statements previously employed. We use a standard method to obtain a lower and an upper bound for some non zero determinant that enables us to obtain a fondamental inequality containing many arbitrary parameters. We can deduce from this last inequality a list of lower bounds which are totally explicit for linear forms of logarithms