Algèbres de Lie dont le treillis des idéaux est fixé

Lie algebras with a given lattice of ideals

• Auteur / Autrice : Kamola Khakimdjanova
• Direction : Michel Goze
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Mulhouse

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces vectoriels

Algèbre différentielle

Lie, Algèbres de

Résumé

Dans cette thèse on étudie certaines structures algébriques dont le treillis des idéaux vérifie les propriétés données. De manière plus précise trois types de structures algébriques sont abordés : les espaces vectoriels différentiels, les algèbres de Lie et les algèbres de Lie différentielles de dimension finie ou infinie. Pour les espaces vectoriels différentiels nous définissons la notion de dimension différentielle et nous étudions certaines de ses propriétés. Ensuite nous abordons le problème suivant : si on fixe un treillis avec les propriétés simples, quelles sont les algèbres de Lie ou les algèbres de Lie différentielles de dimension finie ou infinie admettant le treillis donné comme treillis des idéaux ? En étudiant ce problème, nous avons obtenu une classification complète d'algèbres de Lie de dimension finie dont le treillis des idéaux a une longueur inférieure ou égale à 2. Nous introduisons une classe d'algèbres de Lie de dimension infinie appelées fines qui généralise celle des algèbres filiformes dans le cas de dimension finie. La classification complète des algèbres de Lie fines est un problème intéressant mais, probablement très difficile. Nous avons obtenu une classification complète à isomorphisme près, des algèbres de Lie fines admettant une graduation naturelle ou standard. Finalement en appliquant ce résultat nous avons obtenu la classification complète des algèbres de Lie de dimension infinie potentiellement résolubles dont le treillis des idéaux est une chaîne.