Formes normales de perturbations de matrices : étude et calcul exact

Studies in matrix perturbations : algebraic computation of normal forms

• Auteur / Autrice : Claude-Pierre Jeannerod
• Direction : Jean Della Dora
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Grenoble INPG

Mots clés

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Mathématiques

Algorithme

Comportement asymptotique

Polynôme caractéristique

Forme normale

Algèbre linéaire

Perturbation

Problème valeur propre

Algorithm

Asymptotic behavior

Characteristic polynomial

Normal form

Linear algebra

Perturbation

Eigenvalue problem

Résumé

Cette thèse étudie les formes normales rationnelles de perturbations de matrices en vue de la résolution du problème de perturbations pour les valeurs propres : le comportement asymptotique des valeurs propres d'une perturbation de matrice pouvant être entièrement décrit à partir de seulement quelques monômes du polynôme caractéristique, il s'agit essentiellement d'arriver à «lire» ces invariants matriciels directement sur la matrice de départ (perturbations quasi-génériques) ou, à défaut, sur une perturbation qui lui soit semblable (forme réduite). Partant des travaux de Moser et de Lidskii, on propose deux premières formes réduites, chacune étant associée à une famille de perturbations quasi-génériques. Des algorithmes de réduction par similitude polynomiale ainsi que les formes normales correspondantes sont également présentés. Enfin, une généralisation d'un théorème de Lidskii indique une troisième forme réduite, pour laquelle le problème de départ est complètement résolu. L'ensemble de ces résultats trouve une interprétation simple avec le polygone de Newton et l'implantation en Maple des algorithmes proposés a permis de développer une première «boîte à outils» pour les perturbations de matrices