Etudes d'oscillations non lineaires pres d'une caustique

• Auteur / Autrice : REMI CARLES
• Direction : Guy Métivier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Rennes 1

Résumé

Nous mettons en evidence des phenomenes non lineaires lorsque des oscillations donnent lieu a une caustique. La premiere partie de ce travail porte sur une famille d'equations des ondes semi-lineaires, pour laquelle on montre que des termes nouveaux apparaissent dans le developpement asymptotique de la solution, nes de la traversee de la caustique. Cette etude, dans l , permet en outre de constater l'existence d'une couche limite pres de la caustique, a l'interieur de laquelle la solution exacte et le premier profil de l'optique geometrique ont des comportements radicalement differents. La seconde partie de cette these aborde une famille d'equations de schrodinger non lineaires, pour laquelle apparaissent plusieurs notions d'indice critique, permettant de decrire d'une part la nature de la propagation en dehors de la caustique, et d'autre part la traversee de la caustique. La propagation est celle que l'on connait par la methode bkw, et la traversee de la caustique est soit semblable a celle du cas lineaire, soit decrite en termes d'operateurs de diffusion. Une description uniforme est rendue possible en generalisant l'ecriture de la solution sous forme d'integrale lagrangienne.