Sur l'inegalite de markov pour les compacts. Cas des ensembles de cantor - problemes de capacite logarithmique. Conjecture de wilhelmsen - equivalence avec l'inegalite de division

Markov's inequality on compact sets. The case of cantor sets - capacity problems. Wilhelmsen's conjecture - equivalence with division inequality

• Auteur / Autrice : LEOKADIA BIALAS CIEZ
• Direction : Pierre Goetgheluck
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

L'inegalite de markov permet de majorer, sur un compact, la norme du gradient d'un polynome en fonction de la norme du polynome. Quatre resultats concernant cette inegalite sont etablis. (1) l'inegalite de markov est satisfaite sur les ensembles de cantor. Pour montrer ce resultat nous etablissons, a l'aide d'estimations sur la mesure harmonique, que pour un ensemble de cantor k la fonction de green avec pole a l'infini de la composante connexe du complementaire de k satisfait une condition qui implique que l'ensemble k preserve l'inegalite de markov. (2) les compacts sur lesquels on a une inegalite de markov sont reguliers. Nous prouvons que tout compact de c sur lequel l'inegalite de markov est satisfaite a une capacite logarithmique positive. Il en resulte qu'il est regulier (au sens du probleme de dirichlet de prolongement d'une fonction continue et bornee sur le bord du compact en une fonction harmonique). (3) la conjecture de wilhelmsen est fausse. Pour k compact convexe du domaine reel d'interieur non vide, wilhelmsen a conjecture que la meilleure constante possible m dans l'inegalite de markov est m = 2/a(k) ou a(k) designe le minimum de la distance de deux hyperplans paralleles entre lesquels on peut inserer k. Nous infirmons cette conjecture a l'aide d'exemples construits en plusieurs variables. (4) l'inegalite de markov est equivalente a une inegalite de division. Sur un ensemble k borne et d'interieur non vide du domaine reel l'inegalite de markov implique une inegalite de division par une fonction suffisamment reguliere et non plate. Nous prouvons la reciproque quand k est un compact de r ou c.