Jacobiennes generalisees reelles et systemes integrables

• Auteur / Autrice : ADUAYI JUSTIN E PLAKOO
• Direction : LUBOMIR GAVRILOV
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

Parmi les varietes algebriques qui entrent en jeu dans l'etude des systemes hamiltoniens algebriquement completement integrables, on trouve les varietes abeliennes dont les jacobiennes de courbes lisses et les varietes semi-abeliennes dont les jacobiennes generalisees de courbes singulieres. Contrairement aux jacobiennes usuelles des courbes lisses, les jacobiennes generalisees des courbes singulieres sont peu connues des specialistes de systemes integrables. Cette these a pour objet l'etude des differentes jacobiennes generalisees et des structures reelles dont elles peuvent etre munies. Nos resultats principaux sont de deux types : nous donnons d'abord une caracterisation des parties reelles des jacobiennes generalisees et nous appliquons ensuite ces resultats a l'etude de la topologie des systemes associes. Nous considerons dans ce travail les courbes singulieres ayant uniquement des points doubles ordinaires a tangentes distinctes et les courbes singulieres definies par une courbe lisse complete et irreductible et un module de degre superieur ou egal a deux. Nous prouvons que la jacobienne generalisee de la courbe singuliere a points doubles ordinaires est une extension de la jacobienne usuelle de sa normalisee par le groupe multiplicatif. Il s'agit d'une variete semi-abelienne. Il en est de meme pour la jacobienne generalisee d'une courbe singuliere definie par un module simple (dont tous les coefficients sont egaux a 1). A partir de nos resultats ainsi que des proprietes bien connues de la jacobienne usuelle, nous fournissons des outils pour denombrer les tores et les cylindres de liouville des systemes qui se linearisent sur une jacobienne. Nous donnons des resultats concrets dans le cas des systemes de jacobi-moser-mumford. Une illustration de cette methode est donnee par l'etude de la topologie complete du systeme de gelfand-dikii a deux degres de liberte ainsi que les bifurcations. Pour terminer, nous avons constitue un catalogue de systemes hamiltoniens qui se linearisent sur une jacobienne generalisee. Cette liste non exhaustive contient entre autre le systeme bien connu de la toupie de lagrange. Comme application des resultats sur les jacobiennes generalisees reelles, nous proposons une nouvelle methode donnant la topologie de ce systeme.