Sur le calcul de la caracteristique d'euler-poincare d'ensembles semi-algebriques et de la fibre de milnor reelle

About the computation of the euler-poincare characteristic of semi-algebraic sets and of the real milnor fiber

• Auteur / Autrice : Nicolas Dutertre
• Direction : Karim Bekka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et application
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Rennes 1

Résumé

On etudie dans les deux premiers chapitres la fibre de milnor d'une application analytique de r#n vers r#k. On choisit un germe de fonction g puis on considere l'ensemble des points de la fibre de milnor ou g est positive et l'ensemble des points ou g est negative. On evalue la difference des caracteristiques d'euler des ces ensembles. Le premier chapitre est consacre au cas d'une bifurcation a p parametres d'un germe de fonction analytique n-dimensionel et d'un germe de fonction en les parametres g dont le gradient ne s'annule pas a l'origine. La difference consideree s'exprime comme le degre en 0 d'une application analytique de r#p#+#n. On obtient egalement une formule pour le cas p = 4 et g quelconque. On etudie le cas general dans le deuxieme chapitre. Pour le cas k = 1, on trouve une formule similaire a celle d'une bifurcation et pour le cas k 1, une formule modulo 2 dont on tire une nouvelle preuve de l'invariance topologique du nombre de milnor modulo 2. Le but du troisieme chapitre est d'exprimer la caracteristique d'euler des ensembles semi-algebriques de r#n definis par l'intersection d'une intersection complete algebrique lisse et de plusieurs inegalites polynomiales. Pour ceci, on adapte des techniques de szafraniec et on exprime ces caracteristiques d'euler en fonction des signatures de formes bilineaires. On etudie au passage les fibres d'un polynome propre de r#n a points critiques isoles et on obtient une version globale de la formule d'arnol'd, wall et khimshiasvili. On exprime egalement l'homotopie de la fibre d'un polynome modere de c#n en fonction du rang d'une certaine forme bilineaire symetrique. Le quatrieme chapitre est consacre a l'etude des fibres d'un polynome non propre de r#n.