Etude mathematique et resolution numerique des equations de maxwell dans un domaine non regulier

• Auteur / Autrice : Stéphanie Lohrengel
• Direction : Marc Lenoir
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Analyse numérique
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Les travaux presentes dans cette these ont pour objet l'etude des equations de maxwell en regime harmonique sous la forme d'un probleme regularise qui ressemble a l'equation de helmholtz vectorielle. Dans le cas d'un domaine regulier ou convexe, ce probleme admet une discretisation par elements finis nodaux. On s'interesse ici au meme probleme dans un polyedre non convexe. L'analyse mathematique met alors en evidence deux situations tres differentes selon que l'on impose a la solution de verifier au bord une condition de conducteur parfait ou d'impedance. Dans le premier cas, nous montrons qu'une methode d'elements finis nodaux ne permet pas, en general, d'approcher la solution des equations de maxwell, mais en fait la solution d'un probleme voisin defini sur un espace fonctionnel different. La solution des equations de maxwell, quant a elle, presente des singularites au voisinage des sommets et des aretes rentrantes du domaine, singularites qui ne peuvent pas etre approchees par des elements finis de lagrange. Nous proposons une nouvelle methode qui est basee sur la decomposition de la solution en une partie reguliere susceptible d'etre approchee par elements finis nodaux, et une partie singuliere determinee et prise en compte de facon explicite. Nous presentons cette methode de champs singuliers en detail pour un modele simple, et nous traitons ensuite d'autres applications. Des resultats numeriques illustrent cette approche. Dans le cas d'une condition d'impedance, nous etablissons un resultat de densite pour l'espace fonctionnel qui intervient dans la formulation variationnelle, ce qui permet alors de discretiser ce probleme par elements finis nodaux, contrairement au cas du conducteur parfait.