Estimations quantitatives sur les polynômes pour différentes normes hilbertiennes

• Auteur / Autrice : Stefan Eugen Macovschi
• Direction : Bernard Beauzamy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Beauzamy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces à produit scalaire

Walsh, Fonctions de

Espaces de Hilbert

Polynômes

Résumé

Les travaux de cette these concernent des estimations quantitatives pour des polynomes en une ou plusieurs variables. L'outil de base est le produit scalaire de bombieri, qui donne une norme hilbertienne dependant du degre des polynomes et dont les poids sont les inverses des coefficients binomiaux. Le premier chapitre traite des polynomes homogenes a plusieurs variables pour lesquels des normes d'operateurs differentiels sont completement calculees : on utilise le fait que pour la norme de bombieri l'adjoint d'un operateur de derivation est un operateur de multiplication. Le second chapitre introduit des normes de bombieri a des ordres differents du degre du polynome considere : plusieurs inegalites sont etablies a partir d'hypotheses sur la localisation des racines, ainsi que des comparaisons fines avec differentes autres normes, dont la norme euclidienne et la mesure de mahler. Dans le chapitre trois on exploite la formule d'evaluation du produit scalaire de bombieri combinee avec le principe de contraction de walsh : cela permet de generaliser et d'obtenir des versions quantitatives de plusieurs resultats classiques en geometrie des polynomes sans pour autant utiliser la derivation. Le quatrieme chapitre traite d'une nouvelle norme hilbertienne, issue de la norme de bombieri, mais qui s'applique a une classe de fonctions entieres ; avec cette norme on peut resoudre des equations differentielles polynomiales de tout degre avec un controle de la stabilite de la solution. On ameliore la constante impliquee dans ce controle, et on prouve plusieurs inegalites interessantes pour la norme du produit de deux polynomes. Dans ces trois derniers chapitres qui traitent de polynomes complexes en une variable on prouve de nouvelles conditions pour qu'un polynome ait toutes ses racines dans le disque unite : ces conditions sont de plus directement calculables a partir des coefficients.