Cartes planaires et fonctions de Belyi : aspects algorithmiques et expérimentaux

Planar maps and Belyi functions : algorithmic and experimental aspects

• Auteur / Autrice : Nicolas Magot
• Direction : Alexandre Zvonkine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Cartes aléatoires

Algorithmes

Résumé

Le sujet de cette these porte sur l'etude des aspects algorithmiques et experimentaux des fonctions de belyi des cartes et hypercartes planaires. Les fonctions de belyi sont etroitement liees a la theorie des dessins d'enfants, initiee par le mathematicien alexandre grothendieck. Dans le premiers chapitre de la these, nous rappelons differentes notions liees aux cartes et hypercartes. Le chapitre suivant nous permet d'introduire la notion de fonctions de belyi dans le cas general, en tant que fonction meromorphe ayant toutes ses valeurs critiques dans 0, 1,. Le theoreme principal de la theorie est que les fonctions de belyi sont en bijection avec les hypercartes. Dans le cas planaires, ces fonctions de belyi sont des fonctions rationnelles. Considerons f une fonction de belyi d'une carte planaire. Les racines de l'equation f(z) = correspondent aux sommets de l'hypercarte, les racines de f(z) = 0 aux centres des faces et les racines de f(z) = 1 aux milieux d'aretes de l'hypercarte. Ces differentes solutions sont les points critiques de la fonction. Nous demontrons ensuite differentes proprietes des fonctions de belyi qui vont alors nous permettre de construire un algorithme de calcul des fonctions de belyi plus rapide. Nous prouvons egalement differentes relations entre les points critiques, et etudions la composition de fonctions de belyi. Dans le quatrieme chapitre, nous etudions le probleme inverse qui consiste a reconnaitre la carte correspondant a une fonction de belyi donnee. Nous developpons algorithme qui permet d'obtenir un dessin echantillonne de la vraie forme de la carte. Dans un deuxieme temps, nous proposons un algorithme permettant de reconnaitre de maniere combinatoire la carte planaire correspondant a une fonction de belyi. Dans le cinquieme chapitre, nous exposons les applications des differents travaux que nous avons developpes. Nous mettons en evidence la relation entre les polynomes de jacobi et une serie infinie de cartes. Nous calculons et dessinons les fonctions de belyi de polyedres d'archimede, et nous representons certaines de ces cartes sur la sphere. Nous montrons les possibilites offertes par les fonctions de belyi pour l'etude de la conjecture (abc), et nous calculons enfin les fonctions des cartes d'assortiment de degres < 6, 3, 2, 1 ; 6, 3, 2, 1 >, dont le groupe cartographique de huit d'entre elles est le groupe de mathieu m12.