Représentations en variables d'état de modèles de guides d'ondes avec dérivation fractionnaire

State space representation of waveguide models with fractional derivative

• Auteur / Autrice : Denis Matignon
• Direction : Bernard Picinbono
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Le but de ce travail est l'etablissement de procedures systematiques d'ecriture explicite de modeles physiques de resonateurs d'instruments a vent en vue d'une synthese sonore de qualite. La representation en variables d'etat (ve) est choisie car, s'implantant facilement et permettant une estimation parametrique a posteriori, elle allie les avantages des modeles de signaux et des modeles physiques. Nous developpons une ecriture modulaire des systemes de propagation d'ondes interconnectes, et une procedure de construction recurrente de la representation en ve de reseaux de systemes elementaires. Cette ecriture prend en compte les pertes viscothermiques au cours de la propagation des ondes dans l'air. Cette hypothese acoustique est modelisee par une equation aux derivees partielles fractionnaire (edpf), ce qui nous conduit a envisager deux aspects theoriques interessants: les treillis a plusieurs variables, et la derivation fractionnaire. En premier lieu, nous montrons l'equivalence entre les lignes de transmission avec pertes et des filtres en treillis generalises, constitues d'unites de retard et de filtrage: leur description par des polynomes a plusieurs variables independantes permet de donner une condition suffisante de stabilite. En second lieu, nous approfondissons la theorie de la derivation fractionnaire. Nous donnons une definition au sens des distributions causales, et proposons une autre definition adaptee a des fonctions continues developpables en serie fractionnaire (dsf), ce qui introduit naturellement des coefficients dans le developpement. La caracterisation des fonctions propres de ces deux operateurs de derivation permet de resoudre toute equation differentielle fractionnaire (edf) par des moyens algebriques ; d'un point de vue analytique, nous interpretons les conditions initiales non-entieres par les premiers coefficients du dsf, et donnons le comportement asymptotique des solutions par la position des poles fractionnaires dans un domaine spectral fractionnaire. Enfin, pour une edpf, nous proposons une extension a la dimension infinie: l'ensemble des poles fractionnaires est alors denombrable ; ceci constitue une analyse modale d'ordre fractionnaire