Effets de gradient dans les réseaux élastiques discrets capturés par homogénéisation asymptotique

Gradient effects in discrete elastic networks captured by asymptotic homogenization

• Auteur / Autrice : Yang Ye
• Direction : Basile Audoly, Konstantinos Danas
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Ingénierie, mécanique et énergétique
• Date : Soutenance le 12/02/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mécanique des Solides (Palaiseau ; 1961-....) - Laboratoire de Mécanique des Solides
• Jury : Président / Présidente : Claude Boutin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Basile Audoly, Vincent Tournat, Kim Pham, Diana Baltean-Carles
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Claude Boutin, Vincent Tournat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cauchy, Problème de

Propriétés mécaniques

Matériaux architecturés

Mots clés libres

Matériaux architecturés

Lattice materials

Gradient effect

Homogenization

Mechanism

Elastic networks

Kagome

Résumé

Les structures architecturées gagnent en popularité dans un large éventail d'applications en ingénierie en raison de leurs propriétés mécaniques exotiques, telles que leur légèreté, leur grande résistance, leur capacité de transmission des ondes et leurs caractéristiques d'absorption des chocs. Leur comportement mécanique unique peut être finement ajusté en modifiant leur topologie. Les récents progrès de la fabrication additive ont rendu possible la production de structures architecturées à base de treillis avec des microstructures précisément conçues et personnalisables. Une approche directe pour prédire le comportement mécanique de ces structures en treillis consiste à effectuer des simulations discrètes complètes. Cependant, cette méthode est limitée par l'échelle et la complexité des structures, ce qui la rend impraticable pour étudier des conceptions vastes ou complexes. Cette limitation met en évidence la nécessité d'adopter un modèle homogénéisé.Des travaux récents montrent que le continuum de Cauchy obtenu par la méthode classique d'homogénéisation présente des limites, par exemple, il ne peut pas capturer l'effet d'échelle et ignore l'effet de gradient. Cette thèse explore une approche énergétique générale pour l'homogénéisation d'ordre supérieur des réseaux élastiques discrets constitués de poutres ou de ressorts élastiques linéaires en dimensions 2 ou 3. L'énergie homogénéisée atteint une précision asymptotique deux ordres au-delà des résultats de l'homogénéisation classique. Le modèle est validé à travers une série d'exemples, incluant des réseaux avec diverses topologies, des propriétés géométriques ou matérielles variables, avec ou sans précontrainte/précontrain, en 2D ou en 3D. Pour chaque exemple, nous utilisons la bibliothèque shoal, un moteur open-source conçu pour l'homogénéisation des structures discrètes, afin d'homogénéiser le réseau cible et nous comparons les résultats obtenus par homogénéisation avec ceux extraits de simulations discrètes complètes pour évaluer la précision de notre modèle homogénéisé. Nos résultats montrent que le modèle homogénéisé asymptotique reste extrêmement précis, même lorsque les effets de gradient de déformation sont significatifs.Nous étendons davantage la méthode de l'homogénéisation linéaire pour analyser le réseau de Kagome avec des ressorts soumis à une déformation finie. Le réseau de Kagome avec ressorts présente des mécanismes liés à sa topologie, et des travaux récents montrent que le continuum de Cauchy n'est pas suffisant. En introduisant une variable cinématique enrichie et en appliquant une développement asymptotique à deux échelles d'ordre dominant, nous obtenons un modèle homogénéisé enrichi asymptotique pour le réseau de Kagome en déformation finie. Nous présentons des exemples en 1D et en 2D pour démontrer que le modèle peut prédire efficacement la déformation sous des charges appliquées en résolvant les problèmes aux limites correspondants. Notre modèle effectif est capable de capturer certains phénomènes intéressants, tels que l'asymétrie (gauche-droite) dans la déformation de la structure discrète sous des conditions aux limites symétriques. De plus, il prédit que cette asymétrie diminue progressivement lorsque l'échelle microscopique est affinée, atteignant finalement une symétrie parfaite lorsque la longueur microscopique tend vers zéro.L'approche d'homogénéisation développée dans cette thèse constitue un outil polyvalent et efficace pour analyser les performances mécaniques des structures discrètes. Elle se révèle également puissante pour concevoir et optimiser les microstructures.

Architected structures have been more and more popular in a wide range of engineering applications due to their exotic mechanical properties, such as lightweight, high-strength, wave transmission, and shock-absorbing features. Their unique mechanical behavior can be finely tuned by altering their topology. Recent advancements in additive manufacturing have made it possible to fabricate truss-based architected structures with precisely designed and customizable microstructures. A straightforward approach to predicting the mechanical behavior of these lattice structures is to carry out full discrete simulations. However, this approach is restricted by the scale and complexity of the structure, making it impractical to study large or intricate designs. This limitation highlights the necessity of adopting a homogenized model.Recent work shows Cauchy-continuum obtained by the classical homogenization method is limited, for example, it cannot capture the size effect and ignores the gradient effect. This Ph.D. explores a general energy approach to the higher-order homogenization of discrete elastic networks made up of linear elastic beams or springs in dimension 2 or 3. The homogenized energy achieves asymptotic accuracy two orders beyond the results of classical homogenization. The model is validated through a series of examples, including lattice with various topologies, and varying geometric or material properties, with or without prestrain/prestress, either in 2D or 3D. For each example, we utilize the shoal library, an open-source homogenization engine designed for the homogenization of discrete structures, to homogenize the target lattice and we compare the homogenization results with those extracted from full, discrete simulations to evaluate the accuracy of our homogenized model. Our findings show that the asymptotic homogenized model remains highly accurate even when the strain gradient effects are significant.We further extend the linear homogenization method to analyze the Kagome lattice with springs under finite deformation. The Kagome with springs has mechanisms due to its topology and recent work shows that Cauchy's continuum is not enough. By introducing an enriched kinematic variable and applying a leading-order two-scale expansion, we obtain an asymptotic, enrichment homogenized model for the Kagome lattice with finite deformation. We present a 1D and a 2D example to demonstrate that the model can effectively predict deformation under applied loads by solving the corresponding boundary value problems. Our effective model is capable of capturing some interesting phenomena, such as the (left-right) asymmetry in the deformation of the discrete structure under symmetric boundary conditions. Moreover, it predicts that this asymmetry progressively decreases when the microscopic length scale is refined, ultimately achieving perfect symmetry as the microscopic length approaches zero.The homogenization approach used in this Ph.D. can provide a versatile and efficient tool to analyze the mechanical performance of discrete structures and is powerful for designing and optimizing microstructures.