Sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans le continu

On the random Schrödinger operators in the continuous setting

• Auteur / Autrice : Yueh-Sheng Hsu
• Direction : Cyril Labbé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Lewin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cyril Labbé, Mathieu Lewin, Giuseppe Cannizzaro, Anne de Bouard, Lorenzo Zambotti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giuseppe Cannizzaro, Anne de Bouard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Systèmes hamiltoniens

Schrödinger, Opérateur de

Mots clés libres

Opérateurs de Schrödinger aléatoires

Hamiltonien d'Anderson

Equations aux dérivées partielles stochastiques singulières

Structures de régularité

Bruit blanc

Auto-Adjonction

Random Schrödinger operators

Anderson Hamiltonian

Singular stochastic partial differential equations

Regularity structures

White noise

Self-Adjointness

Résumé

Cette thèse porte sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans un cadre continu, en particulier ceux avec un potentiel de bruit blanc gaussien. La définition de ces opérateurs différentiels est généralement non triviale et nécessite la renormalisation dans les dimensions d ≥ 2. Nous présentons d’abord un cadre général pour traduire le problème de construction de l’opérateur en EDP stochastiques. Cette approche nous permet de définir l’opérateur en question, d’établir son auto-adjonction et d’étudier son spectre.Par la suite, nous passons à l’étude de l’Hamiltonien d’Anderson continu dans deux configurations spatiales distinctes :d’abord dans une boîte bornée de longueur latérale L avec une condition de bord de Dirichlet nulle pour les dimensionsd ≤ 3, et ensuite dans l’espace Euclidien Rd, pour d ∈ {2, 3}. Dans le premier cas, l’opérateur admet des valeurs propres λn,L, pour lesquelles nous identifions l’asymptotique presque sûre lorsque L → ∞. Cet asymptotique est conforme aux résultats antérieurs dans la littérature pour les dimensions 1 et 2, tandis que notre résultat en dimension 3 est nouveau. Dans le second cas, nous proposons une nouvelle technique de construction en utilisant la théorie des solutions de l’équation parabolique associée, ce qui permet de prouver l’auto-adjonction et de montrer que le spectre est presque sûrement égal à R. Cette approche confirme le résultat récemment établi en dimension 2 dans la littérature, cependant notre construction semble plus élémentaire ; pour la dimension 3, notre résultat est nouveau.Enfin, nous présentons un projet en cours qui aborde le cas où un champ magnétique uniforme est appliqué au système : cela conduit à l’étude de l’Hamiltonien de Landau perturbé par le potentiel de bruit blanc. Notre objectif est de définir l’opérateur dans l’espace R² sans recourir à une théorie de renormalisation sophistiquée. Cependant, la non-bornitude du bruit blanc sur R²pose des défis techniques supplémentaires. Pour surmonter cela, l’utilisation du théorème de Faris-Lavine est discutée.

This thesis studies the random Schrödinger operators in continuous setting, particularly those with Gaussian white noise potential. The definition of such differential operators is generally non-trivial and necessitates renormalization in dimensions d ≥ 2. We first present a general framework to translate the problem of operator construction into stochastic PDEs. This approach enables us to define the operator at stake and establishes its self-adjointness, as well as to investigate its spectrum.Subsequently, we proceed to study the continuous Anderson Hamiltonian under two distinct spatial settings: first on a bounded box with side length L with zero Dirichlet boundary condition for dimensions d ≤ 3, and second on the full Euclidean space Rd, for d ∈ {2, 3}. In the former case, the operator admits eigenvalues λn,L, for which we identify the almost sure asymptotic as L → ∞. This asymptotic aligns with previous findings in the literature for dimension 1 and 2, while our result in dimension 3 is new. In the latter case, we propose a new construction technique employing the solution theory to the associated parabolic equation which allows to prove self-adjointness and show that the spectrum equals to R almost surely. This approach reconfirms the recently established result in dimension 2, but our construction seems to be more elementary; for dimension 3, our result is new.Lastly, we present an ongoing project addressing the case where a uniform magnetic field is applied to the system : this leads to the study of Landau Hamiltonian perturbed by the white noise potential. Our objective is to define the operator on full space R² without resorting to sophisticated renormalization theory. However, the unboundedness of white noise on R² poses additional technical challenges. To overcome this, the usage of Faris-Lavine theorem is discussed.