Réduction de modèle pour la simulation directe et les problèmes inverses : vers les approches non-linéaires

Model reduction for forward simulation and inverse problems : towards non-linear approaches

• Auteur / Autrice : Agustin Somacal
• Direction : Albert Cohen, Olga Mula Hernandez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/05/2024
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Després
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damiano Lombardi, Anthony Nouy, Rachida Chakir
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Francesc Arandiga, Sébastien Boyaval
• DOI : 10.70675/58013673z380ez4cb6zbc16zc2c075ea65de

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réduction de modèle

Problèmes inverses

Équations aux dérivées partielles

Apprentissage automatique

Mots clés libres

Réduction de modèle

Machine learning

Problèmes inverses

Simulation directe

EDP

Reduced models

Machine learning

Inverse problems

Forward modeling

PDE

Résumé

La réduction de modèle est une technique utilisée pour calculer des approximations rapides et précises des états de systèmes physiques, décrits par des Équations aux Dérivées Partielles (EDP) paramétriques. Dans le cadre classique, un sous-espace linéaire est construit dans une étape offline en utilisant un ensemble de descriptions à haute résolution des états possibles du système d'intérêt. Ensuite, le sous-espace est utilisé pour résoudre rapidement et avec précision des problèmes directes ou inverses. Il est connu que ces stratégies peuvent bien approximer la solution des EDP elliptiques avec peu d'éléments de base mais échouent sur les EDP hyperboliques ou lorsque les états présentent des discontinuités. Dans ce contexte, cette thèse se concentre sur le développement de stratégies non linéaires efficaces pour aborder les limitations des espaces linéaires. Le Chapitre 2 étend les garanties d'approximation offertes par les espaces linéaires pour l'équation de diffusion stationnaire pour des niveaux extrêmes de contraste dans les champs de diffusion. Le Chapitre 3 présente un cadre théorique pour analyser l'efficacité des stratégies non linéaires pour les problèmes inverses tandis que le Chapitre 4 se concentre sur la mise en œuvre pratique des techniques d'ordre élevé pour reconstruire localement des interfaces à partir des moyennes. Dans le Chapitre 5, nous montrons une méthode pour accélérer la reconstruction de fonctions caractéristiques en 1d par une stratégie d'apprentissage automatique entraînée à fournir une correspondance entre les valeurs des coefficients de Fourier d'ordre inférieur et celles d'ordre supérieur. Dans le Chapitre 6, nous portons notre attention sur une autre technique d'apprentissage connue sous le nom de réseaux neuronaux informés par la physique (PINN) pour traiter une équation de transport-diffusion linéaire lorsque la diffusivité tend vers zéro et que des chocs apparaissent. Enfin, dans le Chapitre 7, nous appliquons une combinaison de méthodes linéaires et non linéaires à un scénario réel dans lequel l'objectif est de prédire la pollution en tout point d'une ville en utilisant des sources de données hétérogènes telles que des séries temporelles de pollution sur des emplacements spécifiques, la géométrie des rues et les informations de traffic de Google Maps.

Model reduction is a technique used to compute fast and accurate approximations of physical systems' states when they are described through parametric Partial Differential Equations (PDEs). In the classical setting a linear subspace is carefully built, in an offline stage, using a set of high resolution descriptions of possible states of the system of interest. Afterwards the subspace is used to quickly and accurately solve forward or inverse problems. It is known that these strategies can approximate well the solution of elliptic PDEs but they fail on hyperbolic PDEs or when states present jump discontinuities. In this context, this thesis focuses on developing efficient non-linear strategies to tackle the limitations of linear approximation spaces. Chapter 2 extends the approximation guarantees offered by linear spaces for the stationary diffusion equation when extreme levels of contrast in the diffusivity constants are possible. Chapter 3 presents a theoretical framework to analyse the effectiveness of non-linear strategies for inverse problems while Chapter 4 focuses on the practical implementation of high-order techniques to locally reconstruct interfaces from cell average data. In Chapter 5, we show a method to accelerate the reconstruction of 1d characteristic functions by a machine learning strategy trained to learn a mapping from lower order Fourier coefficient values to higher order ones. In Chapter 6, we turn the attention to another learning technique, known as Physics Informed Neural Networks (PINNs), to tackle a linear advection-diffusion equation when the diffusivity vanishes and shocks appear. Finally, in Chapter 7, we apply a combination of linear and non-linear methods to a real case scenario in which the objective is to predict the pollution on every point in a city using heterogeneous sources of data like temporal pollution series on specified locations, the geometry of the streets, and Google Maps traffic information.