Approximations polynomiales et méthode des éléments finis enrichis, avec applications.

Polynomial approximations and enriched finite element method, with applications.

• Auteur / Autrice : Federico Nudo
• Direction : Allal Guessab, Francesco Dell'accio
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/03/2024
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Università degli studi della Calabria
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMAP Laboratoire de mathématiques et de leurs applications
• Jury : Président / Présidente : Domingo Barrera
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Allal Guessab, Francesco Dell'accio, Gradimir V. Milovanović, Elisa Francomano, Donatella Occorsio, Francisco Marcellán
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Domingo Barrera, Gradimir V. Milovanović

Mots clés

Mots clés contrôlés

Interpolation (mathématiques)

Tchebychev, Polynômes de

Approximation polynomiale

Mots clés libres

Approximation

Interpolation

Espace polynomial enrichi

Polynômes de Tchebychev

Moindres carrés fictifs de Chebyshev contraints

Approximation

Interpolation

Enriched polynomial space

Chebyshev polynomials

Constrained mock-Chebyshev least squares

Résumé

Un problème très courant en science computationnelle est la détermination d'une approximation, dans un intervalle fixe, d'une fonction dont les évaluations ne sont connues que sur un ensemble fini de points. Une approche courante pour résoudre ce problème repose sur l'interpolation polynomiale. Un cas d'un grand intérêt pratique est celui où ces points suivent une distribution équidistante dans l'intervalle considéré. Dans ces hypothèses, un problème lié à l'interpolation polynomiale est le phénomène de Runge, caractérisé par une augmentation de l'erreur d'interpolation près des extrémités de l'intervalle. En 2009, J. Boyd et F. Xu ont démontré que le phénomène de Runge pouvait être éliminé en interpolant la fonction que sur un sous-ensemble approprié formé par les noeuds les plus proches des noeuds de Chebyshev-Lobatto, communément appelés noeuds de mock-Chebyshev.Cependant, cette stratégie implique de ne pas utiliser presque toutes les données disponibles. Afin d'améliorer la précision de la méthode proposée par Boyd et Xu, tout en tirant pleinement parti des données disponibles, S. De Marchi, F. Dell'Accio et M. Mazza ont introduit une nouvelle technique appelée constrained mock-Chebyshev least squares approximation. Dans cette méthode, le rôle du polynôme nodal, est crucial. Son extension au cas bivarié nécessite cependant des approches alternatives. La procédure développée par F. Dell'Accio, F. Di Tommaso et F. Nudo, utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, permet également de définir l'approximation des moindres carrés de mock-Chebyshev sur une grille uniforme de points. Cette technique innovante, équivalente à la méthode univariée précédemment introduite en termes analytiques, se révèle également plus précise en termes numériques. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de cette nouvelle technique et à son application à des problèmes de quadrature et de différenciation numérique.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur le développement d'un cadre unifié et général pour l'enrichissement de l'élément fini linéaire triangulaire standard en deux dimensions et de l'élément fini linéaire simplicial standard en dimensions supérieures. La méthode des éléments finis est une approche largement adoptée pour résoudre numériquement les équations aux dérivées partielles qui se posent en ingénierie et en modélisation mathématique [55]. Sa popularité est attribuable en partie à sa polyvalence pour traiter diverses formes géométriques. Cependant, les approximations produites par cette méthode s'avèrent souvent inefficaces pour résoudre des problèmes présentant des singularités. Pour surmonter ce problème, diverses approches ont été proposées, l'une des plus célèbres reposant sur l'enrichissement de l'espace d'approximation des éléments finis en ajoutant des fonctions d'enrichissement appropriées. Un des éléments finis le plus simple est l'élément fini triangulaire linéaire standard, largement utilisé dans les applications. Dans cette thèse, nous introduisons un enrichissement polynomial de l'élément fini triangulaire linéaire standard et utilisons ce nouvel élément fini pour introduire une amélioration de l'opérateur triangulaire de Shepard. Ensuite, nous introduisons une nouvelle classe d'éléments finis en enrichissant l'élément triangulaire linéaire standard avec des fonctions d'enrichissement qui ne sont pas nécessairement polynomiales, mais qui satisfont la condition d'annulation aux sommets du triangle.Nous généralisons les résultats présentés dans le cas bidimensionnel au cas de l'élément fini simplicial linéaire standard, en utilisant également des fonctions d'enrichissement qui ne satisfont pas la condition d'annulation aux sommets du simplexe.Enfin, nous appliquons ces nouvelles stratégies d'enrichissement pour définir une version plus généralede l'enrichissement de l'élément fini linéaire vectoriel simplicial développé par Bernardi et Raugel.

A very common problem in computational science is the determination of an approximation, in a fixed interval, of a function whose evaluations are known only on a finite set of points. A common approach to solving this problem relies on polynomial interpolation, which consists of determining a polynomial that coincides with the function at the given points. A case of great practical interest is the case where these points follow an equispaced distribution within the considered interval. In these hypotheses, a problem related to polynomial interpolation is the Runge phenomenon, which consists in increasing the magnitude of the interpolation error close to the ends of the interval. In 2009, J. Boyd and F. Xu demonstrated that the Runge phenomenon could be eliminated by interpolating the function only on a proper subset formed by nodes closest to the Chebyshev-Lobatto nodes, the so called mock-Chebyshev nodes.However, this strategy involves not using almost all available data. In order to improve the accuracy of the method proposed by Boyd and Xu, while making full use of the available data, S. De Marchi, F. Dell'Accio, and M. Mazza introduced a new technique known as the constrained mock-Chebyshev least squares approximation. In this method, the role of the nodal polynomial, essential for ensuring interpolation at mock-Chebyshev nodes, is crucial. Its extension to the bivariate case, however, requires alternative approaches. The recently developed procedure by F. Dell'Accio, F. Di Tommaso, and F. Nudo, employing the Lagrange multipliers method, also enables the definition of the constrained mock-Chebyshev least squares approximation on a uniform grid of points. This innovative technique, equivalent to the previously introduced univariate method in analytical terms, also proves to be more accurate in numerical terms. The first part of the thesis is dedicated to the study of this new technique and its application to numerical quadrature and differentiation problems.In the second part of this thesis, we focus on the development of a unified and general framework for the enrichment of the standard triangular linear finite element in two dimensions and the standard simplicial linear finite element in higher dimensions. The finite element method is a widely adopted approach for numerically solving partial differential equations arising in engineering and mathematical modeling [55]. Its popularity is partly attributed to its versatility in handling various geometric shapes. However, the approximations produced by this method often prove ineffective in solving problems with singularities. To overcome this issue, various approaches have been proposed, with one of the most famous relying on the enrichment of the finite element approximation space by adding suitable enrichment functions. One of the simplest finite elements is the standard linear triangular element, widely used in applications. In this thesis, we introduce a polynomial enrichment of the standard triangular linear finite element and use this new finite element to introduce an improvement of the triangular Shepard operator. Subsequently, we introduce a new class of finite elements by enriching the standard triangular linear finite element with enrichment functions that are not necessarily polynomials, which satisfy the vanishing condition at the vertices of the triangle.Later on, we generalize the results presented in the two-dimensional case to the case of the standard simplicial linear finite element, also using enrichment functions that do not satisfy the vanishing condition at the vertices of the simplex.Finally, we apply these new enrichment strategies to extend the enrichment of the simplicial vector linear finite element developed by Bernardi and Raugel.