Grοupes de classes et de Ροlya d'extensiοns abéliennes

Class groups and Polya groups of abelian extensions

• Auteur / Autrice : Etienne Emmelin
• Direction : Bruno Anglès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/11/2024
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement co-accrédité : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Federico Pellarin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Federico Pellarin, Christian Maire, Marc Perret, Jean-Luc Chabert, Delphine Boucher, Vincent Bosser
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Maire, Marc Perret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps quadratiques

Extensions abéliennes

Mots clés libres

Théorie du corps de classes

Groupe de Polya

Nombre de classes

Class field theory

Class number

Polya groups

Résumé

Pour des extensions galoisiennes K/Q, le groupe de Pólya de K est un sous-groupedu groupe de classes d’idéaux de K engendré par les idéaux ambiges. On démontredans cette thèse l’existence d’une infinité d’extensions abéliennes K/Q, dont le groupede Pólya est isomorphe à un groupe abélien fini G, prescrit. Pour cela on se ramèneau cas des l-extensions cycliques et l’on utilise le théorème de structure des groupesabéliens finis. De plus, on étudie le comportement asymptotique du groupe de classesrelatif d’extensions CM abéliennes K/Q, défini comme étant le quotient du groupede classes Cl(K), par le groupe de Pólya Po(K) et l’on montre qu’il n’existe qu’unnombre fini de tels corps dont le groupe de classes relatif est trivial. Enfin, on démontrel’existence d’une infinité de corps quadratiques successifs en caractéristique strictementpositive, dont le nombre de classes est divisible par un nombre premier, en montrantun analogue du théorème de Siegel pour les corps de fonctions.

For Galois extensions K/Q, the Pólya group of K is a subgroup of the ideal classgroup of K generated by ambigous ideals. In this thesis, we prove the existence of infinitlymany abelian extensions K/Q, such that the Pólya group of K is isomorphic to aprescribed finite abelian group G. For this, we study the case of cyclic l-extensions andwe show the existence using the theorem of finite abelian group structure. In addition,we study the asymptotic behavior of the relative class group of abelian CM extensionsK/Q, defined as the quotient of the class group Cl(K) by the Pólya group Po(K) andwe show that there exists a finite number of such fields whose relative class group istrivial. Finally, we prove the existence of infinitely many successive quadratic field inpositive caracteristic, whose class number is divisible by a prime number, by showingan analogous of Siegel’s theorem for function fields.