Développement et analyse de méthodes multi-échelles efficaces, avec application aux simulations de décharges plasma utilisant des modèles multi-fluides

Development and analysis of efficient multi-scale numerical methods, with applications to plasma discharge simulations relying on multi-fluid models

• Auteur / Autrice : Louis Reboul
• Direction : Marc Massot, Anne Bourdon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 16/12/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....) - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Christophe Chalons
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Massot, Giacomo Dimarco, Nicolas Crouseilles, Khaled Hassouni, Marie-Hélène Vignal, Gerjan Hagelaar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giacomo Dimarco, Nicolas Crouseilles, Khaled Hassouni

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse multiéchelle

Plasmas froids

Analyse numérique

Mots clés libres

Analyse numérique

Plasmas froids

Analyse multiéchelle

Multi-Scale numerical methods

Asymptotic-Preserving schemesasymptotic-Preserving schemes

Implicit-Explicit schemes

Low-Temperature plasmas

High performance computing

Adaptive mesh refinement

Résumé

Notre objectif principal est le développement et l’analyse de schémas numériques multi-échelles pour la simulation de modèles multi-fluides appliqués au plasma froids basse-pression. La configuration d’intérêt inclut typiquement l’apparition d’instabilités et de gaines, des zones chargées micrométriques qui se forment lors du contact d’un plasma avec des parois. Le modèle prototype est le système d’Euler-Poisson isotherme, mais nous considérons également les modèles simplifiés des équations hyperboliques de la chaleur et d’Euler-friction isotherme pour analyser et développer les méthodes numériques. Dans un premier axe, nous développons et analysons un schéma préservant l’asymptotique d’ordre deux couplé temps-espace implicite-explicite pour les équations hyperboliques de la chaleur (cas linéaire). Nous étendons ensuite la méthode au cas non-linéaire des équations d’Euler-friction isotherme avec coefficient de relaxation non-uniforme. Nous montrons également des résultats théoriques supplémentaires sur des limiteurs de flux adaptés schémas préservant l’asymptotique, et sur une nouvelle méthode équilibre. Dans un second axe, nous proposons plusieurs méthodes numériques pour les équations d’Euler-Poisson ayant une meilleure résolution des configurations avec gaines. Dans un dernier axe, ces méthodes sont utilisées pour effectuer une étude paramétrique de gaines isothermes 2D rectangulaires, à divers régimes collisionnels et ratios d’aspect. Nous comparons nos résultats à des simulations PIC et à des solutions de référence. Nous montrons qu’une simulation d’un modèle fluide avec une méthode numérique adaptée permet une accélération substantielle du calcul et une meilleure précision de la solution obtenue. Nous discutons de l’extension des méthodes multi-échelles aux équations d’Euler complètes et au cas magnétisé dans les perspectives de notre travail.

Our main focus is the design and analysis of multi-scale numerical schemes for the simulation of multi-fluid models applied to low-temperature low-pressure plasmas. Our typical configuration of interest includes the onset of instabilities and sheaths, i.e. micrometric charged boundary layers that form at the plasma chamber walls. Our prototypical plasma model is the isothermal Euler-Poisson system of equations, but we also consider simpler models, the hyperbolic heat equations and the isothermal Euler-friction Equations, for the development and analysis of numerical methods. In a first axis, we develop and analyze a uniformly asymptotic-preserving second-order time-space coupling implicit-explicit method for the hyperbolic heat equations (linear case). We provide theoretical results on flux limiters for asymptotic-preserving methods, and a new well-balanced strategy. In a second axis, we propose several methods for the Euler-Poisson system of equations, to improve the accuracy of simulations of configurations featuring sheaths. In a third axis, we use these methods to conduct a parametric study of a 2D (rectangular) isothermal non-magnetized plasma discharge with sheaths, at various collisional regimes and aspect-ratios. We compare our result to PIC simulations and reference solutions. We show that simulating a fluid model with a tailored numerical method substantially reduces the time of simulation and improves the accuracy of the obtained solution. A discussion on the extensions of the multi-scale methods for the full non-isothermal Euler equations and to highly-magnetized cases is provided in the perspectives of our work.