Dynamique sur les espaces de modules

Dynamics on moduli spaces

• Auteur / Autrice : Fayssal Saadi
• Direction : Abdelghani Zeghib, Louis Funar, Erwan Lanneau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/07/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....) - Institut Fourier (Grenoble, Isère, France ; 1973-....)
• Jury : Président / Présidente : Maxime Wolff
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abdelghani Zeghib, Louis Funar, Erwan Lanneau, Maxime Wolff, Julien Marché, Carlos Matheus, Eveline Legendre, Olga Paris-Romaskevich
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Marché, Carlos Matheus
• DOI : 10.70675/8fe6bc72z9c0ez4269z9758z17b82b5c3e8c

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces (mathématiques)

Mots clés libres

Surfaces de translation

Surfaces à petits carreaux

Twists de Dehn

Sous-groupes modulaires

Variétés des caractères

Variétés des représentations

Translation surfaces

Square-tiled surfaces

Dehn twists

Mapping class subgroups

Character varieties

Representation varieties

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la dynamique de sous-groupes modulaires sur la variété des U(2)- caractères . Plus précisément, nous étudions des questions d'ergodicité de l'action de sous-groupes G du groupe modulaire Mod(g,n) d'une surface compacte S(g,n) de genre g et n composantes de bord. Ces questions ont été naturellement posées après la preuve de Goldman de l'ergodicité du groupe modulaire sur la variété des caractères. Le premier résultat général dans cette direction est dû à Funar et Marché, en montrant que le premier sous-groupe de Johnson agit de manière ergodique sur la variété des caractères, pour toute surface fermée S(g). D'un autre coté, Brown a montré l'existence de points fixes elliptiques pour tout sous-groupe généré par un homéomorphimse pseudo-Anosov sur le tore épointé S(1,1). Ceci a permis de démontrer la non-ergodicité de tels sous-groupes par Forni, Goldman, Lawton et Matheus en appliquant la théorie KAM. Dans la première partie de la thèse, nous étudions une dynamique naturelle sur l'espace des modules des triangles sphériques de la sphère de dimension 2 en reliant cette dynamique à la dynamique du groupe modulaire SL(2, Z) sur la variété des caractères du tore épointé. La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'existence de points fixes elliptiques pour les homéo\-morphismes pseudo-Anosov sur les variétés de caractères des surfaces épointée S(g,n), où g est égal à 0 ou 1. On montre que dans le cas de la variété des caractères relative correspondant à un niveau k du tore épointé, pour un ensemble de mesure positive et dense de niveaux de la fonction invariante k, il existe une famille d'élements pseudo-Anosov qui n'agissent pas érgodiquement sur ces niveaux. dans le cas du tore épointé S(1,1). Un résultat similaire est démontré pour un ensemble de paramètres B dans le cas de la sphère à quatre trous. Ces résultats sont peuvent être combinés pour construire une famille d'éléments pseudo-Anosov sur le tore à deux trous S(1,2), qui admettent un point fixe elliptique. Nous discutons ensuite de l'action d'un groupe G généré par des twists de Dehn le long d'une paire de multi-courbes qui remplissent la surface ou plus généralement le long d'une famille des courbes qui remplissent S(g). Nous montrons dans cette partie qu'il existe deux multi-courbes qui remplissent la surface de genre deux S(2) dont les twists de Dehn associées génèrent un groupe G agissant de manière non-ergodique sur la variété des representations, en trouvant des fonctions rationnelles invariantes explicites. De même, nous montrons l’existence de fonctions rationnelles invariantes par conjugaison et invariantes par un sous-groupe G générées par des twists de Dehn le long d'une famille des courbes qui remplissent la surface fermée non-orientable de genre 4.

In this thesis, we are interested in the dynamics of the mapping class subgroups on the U(2) character variety. More precisely, we deal with ergodicity questions of a subgroup G of the mapping class group Mod(g,n) of a compact surface S(g,n) of genus g and n boundary components. These questions were naturally raised after Goldman's proof of the ergodicity of mapping class groups on the SU(2)-character variety. The first general result in this direction is due to Funar and Marché by showing that the first Johnson subgroups act ergodically on the character variety, for any closed surfaces S(g). On the other hand, Brown showed the existence of an elliptic fixed point (or a double elliptic fixed point) for any subgroup generated by a pseudo-Anosov element on the punctured torus S(1,1). This led to the proof of the non-ergodicity of such subgroups by Forni, Goldman, Lawton, and Mateus by applying KAM theory. In the first part of the thesis, we study the natural dynamics of the moduli space of spherical triangles on the 2-sphere relating these dynamics to the dynamics of the mapping class group on the SU(2)-character variety of the punctured torus.The second part is devoted to the study of the existence of elliptic fixed points for pseudo-Anosov homeomorphisms on the character varieties of punctured surfaces S(g,n), where g is 0 or 1. By showing that near any relative character variety of the once punctured torus, for a set of positive measure and dense of levels k, there exists a family of pseudo-Anosov elements that do not act ergodically on that level, in the case of the punctured torus S(1,1). A similar result holds for a set of parameters B in the case of the four-punctured sphere S(0,4). Then these results can be combined to construct a family of pseudo-Anosov elements on the twice-punctured torus S(1,2) that admit an elliptic fixed point.We discuss then the action of a group G generated by Dehn-twist along a pair of filling multi-curves or along a family of filling curves on S(g). We show in this part that there exist two filling multi-curves on the surface of genus two S(2) whose associated Dehn twists generate a group G acting non-ergodically on representation variety by finding explicit invariant rational functions. Similarly, We found invariant rational functions of a subgroup G generated by Dehn-twists along a family of filling loops on the character variety of the non-orientable surface of genus 4.