Dynamiques contraintes en dimensions finie et infinie, approche par la théorie des grandes déviations et du contrôle

Finite-dimensional and measure-valued constrained dynamics,through the lens of large deviation and control theory

• Auteur / Autrice : Louis-Pierre Chaintron
• Direction : Julien Reygner, Philippe Moireau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2024
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Méléard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julien Reygner, Philippe Moireau, François Delarue, Markus Fischer, Christian Léonard, Franca Hoffmann, Richard Kraaij
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Delarue, Markus Fischer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Viscosité

Dynamique stochastique

Hamilton-Jacobi, Équations de

Mots clés libres

Grandes déviations

Théorie du contrôle

Estimation

Filtrage stochastique

Équations de Hamilton-Jacobi

Large deviations

Control theory

Estimation

Stochastic filtering

Hamilton-Jacobi equations

Résumé

Les dynamiques contraintes apparaissent naturellement dans la modélisation de phénomènes physiques. Lors de l’élaboration d’un modèle, un écart est souvent mesuré entre les prédictions du modèle et les quantités mesurées. Connaissant cet écart, il est naturel de chercher une version améliorée du modèle, qui tienne compte de la mesure, en imposant cette mesure comme une contrainte sur le modèle. Des exemples célèbres proviennent de la mécanique statistique, comme le principe de Gibbs qui détermine la configuration la plus probable d'un système de particules dont on ne connaît que des propriétés moyennes. Un autre exemple est le problème du pont de Schrödinger, qui recherche l'évolution la plus probable d'un processus stochastique dont on ne connait la loi qu’aux instants initial et final. Ce dernier problème connaît aujourd’hui de fructueuses applications avec l'utilisation récente des modèles de diffusion pour la génération d’image. Un dernier exemple est le célèbre problème du filtrage, qui consiste à calculer en temps réel la loi conditionnelle d'un système à partir d'une mesure bruitée. Plus généralement, le formalisme de cette thèse couvre plusieurs types de problèmes d'estimation déterministes et stochastiques. L'objectif principal de cette thèse est d’étendre les outils classiques pour contraindre les équations différentielles ordinaires aux dynamiques à valeurs dans des espaces de mesures. Tout d'abord, nous décrivons des approches déterministes pour contraindre la dynamique d'un modèle-jouet de dimension finie. Nous introduisons plusieurs outils issus de l'optimisation et de la théorie du contrôle, qui permettront des comparaisons avec les dynamiques à valeurs mesure. Nous présentons ensuite des approches stochastiques, qui randomisent la dynamique avant de la conditionner. Ces approches reposent sur la théorie des grandes déviations et celle du filtrage stochastique. Une des principales contributions de cette thèse est l'adaptation de ces méthodes aux dynamiques à valeurs mesure. La théorie des grandes déviations induit des connexions entre les problèmes de conditionnement et des problèmes de minimisation d'entropie sur l'espace des chemins. La théorie de Girsanov convertit ensuite ces formulations en problèmes de contrôle stochastique. Des développements récents permettent des interprétations géométriques de ces résultats en utilisant les flots de gradient dans l’espace Wasserstein et le formalisme associé des équations de Newton. Le chapitre 1 récapitule les différentes contributions de cette thèse et résume les chapitres suivants. Une présentation détaillée des motivations et de l’état de l’art se trouve au début de chaque chapitre. Le chapitre 2 présente des résultats sur le filtrage stochastique pour des diffusions réfléchies dans la limite petit bruit. Le chapitre 3 développe une méthode pour calculer les grandes déviations et prouver le théorème central limite pour des diffusions en interaction de type champ-moyen, et améliore certains résultats déjà existants. Les chapitres 4 et 5 contiennent une étude détaillée d’une extension du principe de Gibbs sur l'espace des chemins avec un nombre infini de contraintes, en utilisant des outils de la théorie du contrôle champ-moyen. En particulier, un résultat de stabilité quantitative y est prouvé. Le chapitre 6 établit des estimées de régularité pour des équations de Hamilton-Jacobi, en utilisant des méthodes issues de la théorie des solutions de viscosité. Les perspectives de travaux futurs sont énumérées à la fin du chapitre 1.

The need for constrained dynamics is ubiquitous in real life applications. When modelling a dynamical phenomenon, a discrepancy is often measured between the model prediction and the targeted quantity. Knowing this discrepancy, it is then natural to look for an improved version of the model, which takes into account the measurement, by imposing this measurement as a constraint on the model. Famous examples originate from statistical mechanics, like the Gibbs principle, which searches for the most likely configuration of a particle system when only knowing average quantities on it. Another example is the Schrödinger bridge problem, which looks for the most likely evolution of a stochastic process when only knowing its law at initial and terminal times. This last problem enjoys thriving applications with the recent use of diffusion models for image generation. Let us also mention the famous filtering problem of finding the conditional distribution of a system in real-time given a noisy measurement on it. More broadly, our framework includes many kinds of deterministic and stochastic estimation problems.The main objective of this thesis is to show how to extend classical tools for constraining ordinary differential equations to measure-valued dynamics. First, we describe some deterministic approaches for constraining finite-dimensional toy-model dynamics. Many tools from optimisation and control theory are introduced, paving the way for analogies with measure-valued dynamics. We then present some stochastic approaches, which randomise the dynamics before conditioning it. Many tools from large deviation theory are introduced there, together with the stochastic filtering problem. A main contribution of this thesis is the adaptation of these methods to measure-valued dynamics. The large deviation theory induces connections between conditioning problems and entropy minimisation problems on path space. The Girsanov theory converts these minimisation problems into stochastic control problems. Recent developments allow for geometric interpretations of these results using Wasserstein gradient flows and the formalism of Newton equations on the Wasserstein space.A recap of the different contributions of this thesis is done in Chapter 1, summarising the following chapters. A detailed presentation of motivations and existing literature can be found at the beginning of each chapter. Chapters 2 presents some results on stochastic filtering for reflected diffusions in the small noise limit. Chapter 3 develops a method for proving large deviations and central limit theorems for mean-field interacting diffusions, improving existing results along the way. Chapters 4-5 contain a detailed study of (extensions of) the Gibbs principle on path space with infinitely many constraints, using tools from the mean-field control theory. In particular, a quantitative stability result is established. Chapter 6 eventually proves regularity estimates on Hamilton-Jacobi equations using viscosity solution methods. Some perspectives for future works are listed at the end of Chapter 1.