Graphes en rubans métriques

Metric ribbon graphs

• Auteur / Autrice : Ivan Yakovlev
• Direction : Vincent Delecroix
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 15/07/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Jury : Président / Présidente : Guillaume Chapuy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémie Bouttier, Viveka Erlandsson, Gaëtan Borot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Chapuy, Paul Norbury
• DOI : 10.70675/d7711dcez524bz40d8zbcd3z2af688fbbcde

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes métriques

Mots clés libres

Graphes en rubans métriques

Cartes combinatoires

Surfaces à petits carreaux

Énumération asymptotique

Bijection

Surfaces de translation

Metric ribbon graphs

Combinatorial maps

Square-tiled surfaces

Asymptotic enumeration

Bijection

Translation surfaces

Résumé

Cette thèse présente quelques contributions à l’étude des fonctions de comptage des graphes en rubans métriques. Un graphe en ruban, aussi connu sous le nom de carte combinatoire, est un plongement cellulaire d’un graphe dans une surface. On peut le représenter via le recollements de polygones ou encore via des factorisations de permutations. Une métrique sur un graphe en rubans est l’attribution d’une longueur strictement positive à chaque arête. Les fonctions de comptage donnent le nombre de graphes en rubans avec une métrique entière et combinatoire fixée (genre de la surface, degré des sommets, nombre de bords) en fonction des périmètres des bords. Notre approche à l’étude de ces fonctions est purement combinatoire et repose sur l’utilisation des bijections et chirurgies pour les graphes en rubans. Dans un premier temps, on montre que ces fonctions sont (quasi-)polynomiales par morceaux, et on précise les régions de (quasi-)polynomialité. Ensuite, on étudie les cas où leur termes de plus haut degré sont de vrais polynômes. Notre intérêt dans ces cas vient du fait que les polynômes correspondants sont utiles pour l’énumération des surfaces à petits carreaux, qui correspondent aux points entiers des strates des surfaces de (demi-)translation (de manière équivalent, states des différentielles sur les surfaces de Riemann). Par conséquent, on peut donner des formules raffinées/alternatives pour les volumes de Masur-Veech des strates. Un exemple connu sont les polynômes de Kontsevich, qui comptent les graphes en rubans métriques trivalents de genre et périmètres des bords fixés. Ils ont été utilisés récemment par Delecroix, Goujard, Zograf et Zorich pour obtenir une formule combinatoire pour les volumes des strates principales des différentielles quadratiques. On se concentre sur les graphes en rubans métriques face-bipartis, qui apparaissent dans l’étude des différentielles Abéliennes. On montre que pour les graphes à un sommet, les termes de plus haut degré des fonctions de comptage sur certains sous-espaces sont des polynômes explicites. En conséquence, on obtient la série génératrice des contributions des surfaces à petits carreaux à n cylindres aux volumes des strates minimales des différentielles Abéliennes, raffinant un résultat précédent de Sauvaget. Ensuite, on présente un résultat de polynomialité similaire pour les deux sous-familles de graphes qui correspondent ou composants connexes de strates minimales de parité spin paire/impaire. Cela donne un raffinement d’une formule pour les différences des volumes correspondants obtenue précédemment par Chen, Möller, Sauvaget et Zagier. Puis on conjecture que le phénomène de polynomialité reste vrai pour les familles de graphes à plusieurs sommets, si chaque graphe est pondéré par le comptage de certains arbres couvrants. On prouve cette conjecture dans le cas planaire. En chemin, on construit des familles d’arbres plans qui correspondent à certaines triangulations de produits de simplexes qui représentent un intérêt du point de vue de la théorie des polytopes. Finalement, on présente une contribution au projet commun avec Duryev et Goujard, où la formule combinatoire de Delecroix, Goujard, Zograf et Zorich est généralisée aux strates des différentielles quadratiques aux singularités impaires. La contribution est une preuve combinatoire de la formule pour les coefficients qui comptent certaines dégénérescences des graphes en ruban métriques non-face-biparti.

This thesis presents several contributions to the study of counting functions for metric ribbon graphs. Ribbon graphs, also known as combinatorial maps, are cellular embeddings of graphs in surfaces modulo homeomorphisms. They are combinatorial objects that can be represented as gluings of polygons or factorizations of permutations. Metric on a ribbon graph is an assignment of positive lengths to its edges. The counting functions give the number of integral metric ribbon graphs with fixed combinatorics (genus of the surface, degrees of vertices, number of boundaries) as a function of the perimeters of the boundaries. Our approach to their study is purely combinatorial and relies on bijections and surgeries for ribbon graphs. Firstly, we show that these functions are piecewise (quasi-)polynomials, specifying exactly the regions of (quasi-)polynomiality. We then study the cases when their top-degree terms are honest polynomials. Our interest in such cases comes from the fact that the corresponding polynomials can be used for refined enumeration of square-tiled surfaces, which correspond to integer points in the strata of (half-)translations surfaces (equivalently, strata of differentials on Riemann surfaces). Consequently, one can give refined/alternative formulas for Masur-Veech volumes of strata. One known example are the Kontsevich polynomials, counting trivalent metric ribbon graphs of given genus and perimeters of boundaries. They were recently used by Delecroix, Goujard, Zograf and Zorich to give a combinatorial formula for the volumes of principal strata of quadratic differentials. We concentrate on face-bipartite metric ribbon graphs, which appear in the study of Abelian differentials. We show that in the case of one-vertex graphs the top-degree terms of the counting functions on certain subspaces are in fact (explicit) polynomials. As a consequence, we deduce the generating function for the contributions of n-cylinder square-tiled surfaces to the volumes of minimal strata of Abelian differentials, refining a previous result of Sauvaget. We then present a similar polynomiality result for the two subfamilies of graphs corresponding to even/odd spin connected components of the minimal strata. This also gives a refinement of a formula for the corresponding volume differences previously obtained by Chen, Möller, Sauvaget and Zagier. Next we conjecture that the polynomiality phenomenon holds for families of graphs with several vertices, if each graph is weighted by the count of certain spanning trees. We prove the conjecture in the planar case. In the process, we construct families of plane trees which correspond to certain triangulations of the product of two simlpices, which are interesting from the point of view of the theory of polytopes. Finally, we present a contribution to a joint work with Duryev and Goujard, where the combinatorial formula of Delecroix, Goujard, Zograf and Zorich is generalized to all strata of quadratic differentials with odd singularities. The contribution is a combinatorial proof of the formula for coefficients counting certain degenerations of (non-face-bipartite) metric ribbon graphs.