''Link-homotopie'' en topologie de base dimension

''Link-homotopy'' in low dimensional topology

• Auteur / Autrice : Emmanuel Graff
• Direction : Paolo Bellingeri, Jean-Baptiste Meilhan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2023
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement co-accrédité : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Luis Paris
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gwénaël Massuyeau, Eric Rowell, Victoria Lebed, Benjamin Audoux, Emmanuel Wagner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gwénaël Massuyeau, Eric Rowell
• DOI : 10.70675/0facb996z18bbz4e31z87d6z7dc8375b7a11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des noeuds

Homotopie

Théorie des tresses

Cobordisme

Théorie de la torsion (algèbre)

Mots clés libres

Link-homotopie

Problème de torsion

Tresses soudées

Calcul de flèches

Cobordisme d'homologie

Knot Theory

Claspers

Link-homotopy

Braid Groups

Welded Braid

Torsion problem

Arrow Calculus

Homology cobordisms

Résumé

Ce mémoire explore la topologie de basse dimension, en mettant l'accent sur la théorie des nœuds. Une théorie consacrée à l'étude des nœuds tels qu'ils sont communément compris : des morceaux de ficelle enroulés dans l'espace ou, de manière plus générale, des entrelacs formés en prenant plusieurs bouts de ficelle. Les nœuds et les entrelacs sont étudiés à déformation près, par exemple, à isotopie près, ce qui implique des manipulations sans couper ni faire passer la ficelle à travers elle-même. Cette thèse explore la link-homotopie, une relation d'équivalence plus souple où des composantes distinctes demeurent séparées, mais où une composante donnée peut s'auto-intersecter. La théorie des claspers, des puissants outils de chirurgie, est développée à link-homotopie près. Leur utilisation permet une démonstration géométrique de la classification des entrelacs avec 4 composantes ou moins à link-homotopie près. Une attention particulière est ensuite accordée aux tresses, des objets mathématiques apparentés aux nœuds et aux entrelacs. Il est montré que le groupe de tresses homotopiques est linéaire, c'est-à-dire isomorphe à un sous-groupe de matrices. De nouvelles présentations de ce groupe sont également proposées. Enfin, il est établi que le groupe de tresse homotopique est sans torsion, quel que soit le nombre de composantes. Ce dernier résultat s'appuie sur le contexte plus large de la théorie des nœuds soudés.

This thesis explores low-dimensional topology, with a focus on knot theory. Knot theory is dedicated to the study of knots as commonly understood: a piece of string tied in space or, more generally, links formed by taking several pieces of string. Knots and links are studied up to deformation, for example, up to isotopy, which involves manipulations that do not require cutting or passing the string through itself. This thesis explores link-homotopy, a more flexible equivalence relation where distinct components remain disjoint, but a single component can self-intersect. The theory of claspers, powerful tools of surgery, is developed up to link-homotopy. Their use allows for a geometric proof of the classification of links with 4 components or less up to link-homotopy. Special attention is then given to braids, mathematical objects related to knots and links. It is shown that the homotopy braid group is linear, meaning it is faithfully represented by a subgroup of matrices. New group presentations are also proposed. Finally, it is established that the homotopy braid group is torsion-free for any number of components. This last result draws upon the broader context of welded knot theory.