Stability results for some hyperbolic systems with direct or indirect local dampings

par Haidar Badawi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Serge Nicaise et de Ali Wehbe.

  • Titre traduit

    Résultats de stabilité pour certains systèmes hyperboliques avec amortissements locaux directs ou indirects


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions la stabilité indirecte de certains systèmes couplés avec différents types d'amortissements locaux discontinus. Nous étudions également des résultats de stabilité et d'instabilité de l'équation des plaques de Kirchhoff avec des termes de retard à la frontière ou des contrôles dynamiques à la frontière. Tout d'abord, nous étudions la stabilisation des équations d'ondes localement couplées avec un amortissement viscoélastique localisé non régulier de type Kelvin-Voigt et un retard temporel localisé. En utilisant un critère général d'Arendt-Batty, nous montrons la stabilité forte de notre système en l'absence de la compacité la résolvante. Cependant, en combinant l'approche du domaine fréquentielle avec la méthode des multiplicateurs, nous prouvons un taux de décroissance polynomial de l'énergétique. Deuxièmement, nous étudions la stabilisation d'équations d'ondes localement couplées avec un amortissement viscoélastique local de type histoire passée agissant seulement sur une équation via des coefficients non régulier. Nous prouvons la stabilité forte de notre système. Ensuite, nous établissons la stabilité exponentielle de la solution si les deux ondes ont la même vitesse de propagation. Dans le cas de vitesses de propagation différentes, nous prouvons que l'énergie de notre système décroît de façon polynomiale. De plus, nous montrons l'absence de stabilité exponentielle si les vitesses de propagation des ondes sont différentes avec un amortissement global et un couplage global. Troisièmement, nous étudions la stabilisation d'un système linéaire de Bresse avec un amortissement viscoélastique interne local discontinu de type Kelvin-Voigt agissant sur la force axiale, sous des conditions aux limites entièrement de Dirichlet. Nous prouvons la stabilité forte et polynomiale de notre système. Enfin, nous considérons deux modèles de l'équation des plaques de Kirchhoff, le premier avec des termes de retard sur les contrôles dynamiques aux bords, et le second où des termes de retard sur le contrôle aux bords sont ajoutés. Pour le premier système, nous prouvons son caractère bien posé, sa stabilité forte, sa stabilité non-exponentielle et sa stabilité polynomiale sous une condition de contrôle géométrique par multiplicateur. Pour le second système, nous prouvons son caractère bien posé, sa stabilité forte et sa stabilité exponentielle sous la même condition de contrôle géométrique par multiplicateur. Enfin, nous donnons quelques exemples d'instabilité du second système pour certains choix de délais.


  • Résumé

    In this thesis, we study the indirect stability of some coupled systems with different kinds of local discontinuous dampings. We also study the stability and the instability results of the Kirchhoff plate equation with delay terms on the boundary or dynamical boundary controls. First, we investigate the stabilization of locally coupled wave equations with non-smooth localized viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and localized time delay. Using a general criteria of Arendt-Batty, we show the strong stability of our system in the absence of the compactness of the resolvent. However, by combining the frequency domain approach with the multiplier method, we prove a polynomial energy decay rate. Second, we investigate the stabilization of locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only on one equation via non-smooth coefficients. We prove the strong stability of our system. Next, we establish the exponential stability of the solution if the two waves have the same speed of propagation. In the case of different propagation speeds, we prove that the energy of our system decays polynomially. Moreover, we show the lack of exponential stability if the speeds of wave propagation are different with a global damping and a global coupling. Third, we investigate the stabilization of a linear Bresse system with one discontinuous local internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type acting on the axial force, under fully Dirichlet boundary conditions. We prove the strong and polynomial stabilities of our system. Finally, we consider two models of the Kirchhoff plate equation, the first one with delay terms on the dynamical boundary controls, and the second one where delay terms on the boundary control are added. For the first system, we prove its well-posedness, strong stability, non-exponential stability, and polynomial stability under a multiplier geometric control condition. For the second one, we prove its well-posedness, strong stability, and exponential stability under the same multiplier geometric control condition. Finally, we give some instability examples of the second system for some choices of delays.



Le texte intégral de cette thèse sera accessible librement à partir du 24-07-2022

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