Les algèbres toroïdales quantiques et leur théorie des représentations

Quantum Toroidal Algebras and their Representation Theory

• Auteur / Autrice : Elie Mounzer
• Direction : Robin Zegers
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 11/02/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : Physique en Ile de France
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique des deux infinis Irène Joliot-Curie (2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Physique (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Schiffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Hernandez, Michela Varagnolo, Vyjayanthi Chari
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Hernandez, Michela Varagnolo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres affines

Représentations d'algèbres

Représentations d'algèbres de Lie

Algèbres topologiques

Mots clés libres

Algèbres quantiques

Théorie des représentations

Groupe de tresses

Quantum algebras

Representation theory

Braid group

Résumé

A toute algèbre de Lie sur le corps des complexes, nous pouvons lui associer le groupe quantique considéré comme généralisation de l’algèbre. C’est la déformation de l’algèbre enveloppante universelle. En prenant la limite q tend vers 1, nous retrouvons l’algèbre enveloppante universelle. L’algèbre de Lie possède une généralisation naturelle en dimension infinie qui est l’algèbre de Lie affine. La déformation de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie affine non-tordue nous permet de définir les algebres affines quantiques. Due à V.G. Drinfel’d les algèbres affines quantiques possèdent une deuxième réalisation en terme de générateurs de Drinfel’d. Cet isomorphisme est prouvé Par I. Damiani et J. Beck. Ceci nous permet de dire qu’on peut effectuer l’affinisation avant ou bien après la quantification. On a un diagramme commutative. En plus, on peut definir la quantification affine qui nous permet d’associer à toute algèbre de Lie de type finie une algèbre quantique affine dans la réalisation de Drinfel’d. Le procédé de quantification affine peut être effectué sur une algèbre affine non tordue. Ceci est la definition des algèbres toroidales quantiques. Le résultat est une algèbre qui est doublement affine. Dans cette thèse nous étudions les algèbres toroidales quantiques et leurs représentations. La première partie est consacrée à l’étude de l’algèbre toroidale quantique de type A1. Par action du groupe des tresses, nous construisons une nouvelle presentation de l’algèbre qui nous donne une nouvelle décomposition triangulaire. Dans la seconde partie, nous utilisons ce résultat pour définir et classifier les représentations simples de plus hauts t-poids. Finalement, nous généralisons les résultats de la première partie pour obtenir une action du groupe des tresses sur tout autres systèmes de racines.

With every irreducible finite root system, one can associate the corresponding Drinfel'd-Jimbo quantum group. This is a Hopf algebra, which can be thought of as a deformation of the universal enveloping algebra of the Lie algebra of the same Cartan type. It naturally comes equipped with a universal R-matrix, thus providing solutions of the Yang-Baxter equation which plays a definitional role in the theoryof quantum integrable systems and underlies the algebraic Bethe ansatz.In case the initial root system is affine instead of finite, the resulting Drinfel'd-Jimbo quantum groups are known as quantum affine algebras. Drinfel'd proposedan alternative presentation of these algebras though, closer in spirit to their classiccurrent or loop presentation as Lie algebras. It is now widely referred to as the Drinfel'd presentation and was rigorously established by Damiani and Beck, making crucial use of Lusztig's affine braid group symmetries ; a quantum analogue of the classical Weyl group symmetries of simple Lie algebras. As one expects in view of the classical current Lie algebra case, Drinfel'd's presentation only depends on the underlying finite root system, i.e. the one with the extra affine simple root removed. Now it turns out that this inherently affine presentation still makes sense if, insteadof a finite root system, one takes an affine root system. In that case, the doubly affine algebra one obtains is known as a quantum toroidal algebra. Although the latter are believed to be relevant in various areas of theoretical physics,ranging from quantum integrable systems to CFT, not much is presently known about their representation theory. From a more mathematical perspective, the interest in these algebras essentially stems from the fact that, in type an_1, they are known to be Frobenius-Schur duals of the widely studied doubly affine Hecke algebras or DAHA originally introduced by Cherednik in order to prove MacDonald's conjectures. In this thesis, we study quantum toroidal algebras and their representation theory. In the first section, we construct a new presentation of the algebra using the braid group action on the generators and show the existence of an isomorphism between both presentations. This allows us to define a new triangular decomposition. Using these results, we define and classify highest t-weight representations. Finally, we generalize the action of the braid group to any root system.