Contributions à la théorie du codage algébrique sur les corps et les anneaux finis et ses applications

Contributions to the theory of algebraic coding on finite fields and rings and their applications

• Auteur / Autrice : Liqin Qian
• Direction : Sihem Mesnager, Xiwang Cao
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 25/07/2022
• Etablissement(s) : Paris 8 en cotutelle avec Nanjing University of Aeronautics and Astronautics (Chine)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Cognition, langage, interaction (Saint-Denis, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Wolfgang Schmid
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Solé, Ferruh Özbudak
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexis Bonnecaze, Steven Dougherty
• DOI : 10.70675/19786fc1z271cz43caza65ez52e900d10bcc

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Corps finis

Sommes de Gauss

Secret

Mots clés libres

Codes linéaires

Codes minimaux

Distributions de poids

Partage de secrets

Corps finis

Théorie des nombres

Codebook

Linear code

Projective code

Weight distribution

Secret sharing scheme

Résumé

La théorie du codage algébrique sur les corps et les anneaux finis a une grande importance dans la théorie de l'information en raison de leurs diverses applications dans les schémas de partage de secrets, les graphes fortement réguliers, les codes d'authentification et de communication. Cette thèse aborde plusieurs sujets de recherche selon les orientations dans ce contexte, dont les méthodes de construction sont au cœur de nos préoccupations. Plus précisément, nous nous intéressons aux constructions de codes optimaux (ou codes asymptotiquement optimaux), aux constructions de codes linéaires à ''hull'' unidimensionnelle, aux constructions de codes minimaux et aux constructions de codes linéaires projectifs. Les principales contributions sont résumé comme suit. Cette thèse fournie une description explicite des caractères additifs et multiplicatifs sur les anneaux finis (précisément S\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q~(u^2= 0)S et _\mathbb{F} _q +u\mathbb{F}_q~(u^2=u)s), utilise des sommes Gaussiennes, hyper Eisenstein et Jacobi et fournit plusieurs classes de nouveaux codes optimaux (ou asymptotiquement optimaux) avec des paramètres flexibles, propose des codes linéaires (optimaux ou quasi-optimal) avec une ''hull'' unidimensionnelle sur des corps finis en utilisant des outils de la théorie de la somme Gaussienne. De plus, cette thèse explore plusieurs classes de codes linéaires binaires (optimaux pour la borne de Griesmer bien connue) sur des corps finis basés sur deux constructions génériques utilisant des fonctions. Aussi, elle détermine leurs paramètres et leurs distributions de poids et en déduit plusieurs familles infinies de codes linéaires minimaux. Enfin, elle étudie des constructions optimales de plusieurs classes de codes linéaires binaires projectifs avec peu de poids et leurs codes duaux correspondants.

Algebraic coding theory over finite fields and rings has always been an important research topic in information theory thanks to their various applications in secret sharing schemes, strongly regular graphs, authentication and communication codes.This thesis addresses several research topics according to the orientations in this context, whose construction methods are at the heart of our concerns. Specifically, we are interested in the constructions of optimal codebooks (or asymptotically optimal codebooks), the constructions of linear codes with a one-dimensional hull, the constructions of minimal codes, and the constructions of projective linear codes. The main contributions are summarized as follows. This thesis gives an explicit description of additive and multiplicative characters on finite rings (precisely _\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q~(u^2= 0)s and S\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q~(u^2=u)S), employees Gaussian, hyper Eisenstein and Jacobi sums and proposes several classes of optimal (or asymptotically optimal) new codebooks with flexible parameters. Next, it proposes(optimal or nearly optimal) linear codes with a one-dimensional hull over finite fields by employing tools from the theory of Gaussian sums. It develops an original method to construct these codes. It presents sufficient conditions for one-dimensional hull codes and a lower bound on its minimum distance. Besides, this thesis explores several classes of (optimal for the well-known Griesmer bound) binary linear codes over finite fields based on two generic constructions using functions. It determines their parameters and weight distributions and derives several infinite families of minimal linear codes. Finally, it studies (optimal for the sphere packing bound) constructions of several classes of projective binary linear codes with a few weight and their corresponding duals codes.