Unification des invariants ADO et Jones colorés pour les noeuds

A unification for the ADO and colored Jones polynomials of a knot

• Auteur / Autrice : Sonny Willetts
• Direction : Francesco Costantino, Bertrand Patureau-Mirand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 10/12/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Baseilhac
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francesco Costantino, Bertrand Patureau-Mirand, Stéphane Baseilhac, Anna Beliakova, Gwénaël Massuyeau, Thomas Fiedler
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anna Beliakova, Gwénaël Massuyeau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants

Polynômes

Théorie des noeuds

Mots clés libres

Théorie des noeuds

Invariants quantiques

Invariant universel

Polynômes ADO et Jones colorés

Modules de Verma

Complétions d’anneaux et d’algèbres

Knot theory

Quantum invariants

Universal invariant

Colored Jones and ADO polynomials

Verma modules

Ring and algebra completions

Résumé

Le but de cette thèse réside dans l'étude et l'unification des invariants ADO et Jones colorés pour les nœuds. Ces derniers sont une famille de polynômes très étudiée et déjà unifiée par Habiro. Ils sont au coeur de multiples constructions (invariants de 3 variétés, TQFT semi simples, ...). Les polynômes ADO, plus récent, présentent un grand intérêt dans l'étude des invariants de 3 variétés et TQFT non semi simples. Ce travail va permettre de construire un invariant unifiant ces deux familles de polynômes dans le cas des noeuds, de montrer qu'elles sont en réalité équivalentes, et permettre de transférer des propriétés connues des polynômes de Jones colorés aux ADO. On peut notamment mettre en lumière des propriétés d'holonomie et de développement en invariants de type fini. On montre d'abord comment construire un élément unifiant les ADO en analysant leurs différences. On a besoin pour cela de complétions d'anneaux à la Habiro afin de permettre une évaluation aux racines de l'unité. Ensuite, il faut montrer que c'est un invariant de nœuds, pour cela, il suffit d'utiliser l'invariant universel quantique et un module de Verma. On peut alors faire le parallèle puis s'appuyer sur les travaux d'Habiro afin de montrer que ce nouvel invariant unifie aussi les polynômes de Jones colorés. De manière plus forte, on peut alors montrer que l'invariant unifié est déterminé par les polynômes de Jones. Cette unicité va nous permettre de déduire tout un tas de propriétés sur les polynômes ADO. Une première propriété va être l'holonomie des ADO, c'est à dire l'existence d'un polynôme d'opérateur, le A polynôme quantique, annulant chaque polynôme ADO. Une autre propriété intéressante est le développement en série dont les coefficients sont des invariants de types finis topologiques. Enfin, l'approche par les représentations de tresses va permettre d'ouvrir la voie à une interprétation homologique des invariants. Le cas des entrelacs sera abordé afin de montrer les difficultés de l'unification et les résultats partiels obtenus.

The goal of this thesis is the study and unification of the ADO and colored Jones knot invariants. The latter is a family of polynomials deeply studied and already unified by Habiro. They are at the core of several constructions (3 manifolds invariants, semi simple TQFT, ...). The ADO polynomials are more recent and are of interest in the study of non semi simple 3 manifold invariants and TQFT. This work will allow us to construct an invariant unifying both families, to show that those two are in fact equivalent, and transfer some known properties of the colored Jones polynomials to the ADO. In particular, we will present some holonomic properties and finite type invariant expansion. We first show how to build an element unifying the ADO polynomials by looking up their differences. We need an Habiro type completion ring in order to allow evaluation at roots of unity. Then, we must show that it is a knot invariant. To do so, it suffice to show that we can obtain it from the universal quantum knot invariant and a Verma module. We can then link this work to Habiro's and use this connection in order to show that this new invariant also unify the colored Jones polynomials. Moreover, we can show that the unified invariant is solely determined by the colored Jones polynomials. This uniqueness will allow us to deduce a bunch of properties on the unified and ADO invariants. First, we can show an holonomic property of the ADO, meaning that there is an operator polynomial canceling every ADO polynomial. This polynomial is the quantum A polynomial. Another nice property is the expansion into a series with topological finite type invariant as coefficients. Finally, the braid representation approach will open the path to homological interpretation of the invariants. The link case will also be discussed, shedding some light on the obstructions to such unification, and presenting some partial results.