Sur la résolution de systèmes polynomiaux paramétriques et l'élimination de quantificateurs sur les réels : algorithmes, complexité et implémentations

On solving parametric polynomial systems and quantifier elimination over the reals : algorithms, complexity and implementations

• Auteur / Autrice : Huu Phuoc Le
• Direction : Mohab Safey El Din
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 03/12/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6 (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Stef Graillat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hoon Hong, Bernd Sturmfels, Joris van der Hoeven, Cynthia Vinzant
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Busé, Eric Schost
• DOI : 10.70675/539fc8c8zf4dfz4b29z9a8ez1a8673a3d9b4

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul formel

Bases de Gröbner

Géométrie algébrique

Polynômes

Mots clés libres

Calcul formel

Bases de Gröbner

Géométrie algébrique réelle

Systèmes polynomiaux paramétriques

Élimination de quantificateurs

Points isolés réels

Symbolic computation

Gröbner bases

Real algebraic geometry

Parametric polynomial systems

Quantifier elimination

Real isolated points

Résumé

La résolution de systèmes polynomiaux est un domaine de recherche actif situé entre informatique et mathématiques. Il trouve de nombreuses applications dans divers domaines des sciences de l'ingénieur (robotique, biologie) et du numérique (cryptographie, imagerie, contrôle optimal). Le calcul formel fournit des algorithmes qui permettent de calculer des solutions exactes à ces applications, ce qui pourraient être très délicat pour des algorithmes numériques en raison de la non-linéarité. La plupart des applications en ingénierie s'intéressent aux solutions réelles. Le développement d'algorithmes permettant de les traiter s'appuie sur les concepts de la géométrie réelle effective ; la classe des ensembles semi-algébriques en constituant les objets de base. Cette thèse se concentre sur trois problèmes ci-dessous, qui apparaissent dans de nombreuses applications et sont largement étudié en calcul formel : - Classifier les solutions réelles d'un système polynomial paramétrique par les valeurs des paramètres; - Élimination de quantificateurs; - Calcul des points isolés d'un ensemble semi-algébrique. Nous concevons de nouveaux algorithmes symboliques avec une meilleure complexité que l'état de l'art. En pratique, nos implémentations efficaces de ces algorithmes sont capables de résoudre des problèmes hors d'atteinte des logiciels de l'état de l'art.

Solving polynomial systems is an active research area located between computer sciences and mathematics. It finds many applications in various fields of engineering and sciences (robotics, biology, cryptography, imaging, optimal control). In symbolic computation, one studies and designs efficient algorithms that compute exact solutions to those applications, which could be very delicate for numerical methods because of the non-linearity of the given systems. Most applications in engineering are interested in the real solutions to the system. The development of algorithms to deal with polynomial systems over the reals is based on the concepts of effective real algebraic geometry in which the class of semi-algebraic sets constitute the main objects. This thesis focuses on three problems below, which appear in many applications and are widely studied in computer algebra and effective real algebraic geometry: - Classify the real solutions of a parametric polynomial system according to the parameters' value; - Elimination of quantifiers; - Computation of the isolated points of a semi-algebraic set. We designed new symbolic algorithms with better complexity than the state-of-the-art. In practice, our efficient implementations of these algorithms are capable of solving applications beyond the reach of the state-of-the-art software.