Localization and Lie-Rinehart algebras in deformation quantization

par Hamilton Menezes de Araujo

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Martin Bordemann.

Soutenue le 18-02-2021

à Mulhouse , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) , en partenariat avec Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) (laboratoire) et de Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal - IRIMAS - UR 7499 / IRIMAS (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Localisation et algèbres de Lie-Rinehart en quantification par déformation


  • Résumé

    Cette thèse contient deux parties qui sont liées à la quantification par déformation. Premièrement nous discutons la localisation analytique des algèbres de fonctions en quantification par déformation, i.e. les fonctions ne sont définies que sur une partie ouverte de la variété, comparée avec la localisation non commutative à la Ore des algèbres de fonctions déformées. Nous décrivons d'abord le cadre algébrique de la localisation et ensuite nous regardons deux exemples élémentaires, celui des fonctions définies sur une partie ouverte et celui des germes de fonctions autour d'un point donné. Dans le premier cas on obtient l'équivalence entre l'approche analytique et l'approche algébrique. A la fin on discute un cadre plus général qui permet de formuler une question: Est-ce que localisation et déformation commutent?Pourtant, le lien de la deuxième partie avec la quantification par déformation est le plus élémentaire, celui des opérateurs différentiels. Dans cette partie on ne discute pas les propriétés analytiques de ces opérateurs, mais on cherche à décrire la multiplication de deux opérateurs différentiels sur une variété différentielle. Nous avons choisi le cadre algébrique des algèbres de Lie-Rinehart (Rinehart 1963, Huebschmann 1990) qui généralisent les algèbres de Lie de tous les champs de vecteurs et permettent d'utiliser des méthodes purement algébriques qui ne sont pas utilisées en géométrie différentielle usuelle. Pourtant, on a réussi à donner une description très explicite de "l'algébroïde des chemins" de M.Kapranov (2007) en termes des dérivées covariantes itérées. Dans ce cas, courbure et torsion apparaissent dans une application canonique de l'algébroïde de Kapranov dans l'algèbre de LieRinehart en question. Cette construction permet de décrire l'enveloppante de l'algèbre de Lie-Rinehart (l'analogue de l'algèbre des opérateurs différentiels) comme quotient d'une algèbre plus grande, dont la multiplication est très explicite, modulo un idéal. La construction est, pour parler géométriquement, "tensorielle" et consiste en une "symétrisation" perturbée par des termes de courbure et torsion. Dans plusieurs cas particuliers, la multiplication est calculable en termes d'une factorisation des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie (ce qui est un problème connu en théorie de Lie).


  • Résumé

    This thesis contains two parts which are related to deformation quantization. First we discuss the analytical localization of function algebras in deformation quantization, i.e. functions are defined only on an open set of the manifold, compared with the noncommutative localization at the Oredeformed function algebras. We first describe the algebraic framework of localization and then look at two elemeiitary examples, that of functions defined on an open set and that of function germs around a given point. In the first case we obtain the equivalence between the analytical and the algebraic approach. At the end we discuss a more general framework which allows us to formulate a question : do localization and deformation commute ?Nevertheless, the link of the second part with deformation quantization is the most elementary one, that of differential operators. In this part, we do not discuss the analytical properties of these operators, but we ti-y to describe the multiplication of two differential operators on a differential manifold. We have chosen the algebraic framework of the Lie-Rinehart algebras (Rinehart 1963, Huebschmann 1990) which generalize the Lie algebra of all vector fields and allow the use of purely algebraic methods which are not used in usual differential geometry. However, we have succeeded in giving a very explicit description of M.Kapranov's (2007) 'path algebra' in terms of iterated covariant derivatives. In this case, curvature and torsion appear in a canonical application of the Kapranov algebroide in the Lie-Rinehart algebra in question. This construction allows to describe the enveloping LieRinehart algebra (the analogue of the algebra of differential operators) as a quotient of a big algebra, whose multiplication is very explicit, modulo an ideal. The construction is, to speak geometrically, 'tensorial' and consists of a 'symmetrization' perturbed by curvature and torsion terms. In several particular cases, the multiplication is computable in terms of a factorization of the enveloping algebras of Lie algebras (which is a known problem in Lie theory).


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2021 par Université de Haute Alsace à Mulhouse

Localization and Lie-Rinehart algebras in deformation quantization


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2021 par Université de Haute Alsace à Mulhouse

Informations

  • Sous le titre : Localization and Lie-Rinehart algebras in deformation quantization
  • Détails : 1 vol. (XXVI-158 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 155-158
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