Taux d'intérêt pour l'assurance : approximations et calibrages de modèles

Interest rates for insurance : models calibrations and approximations.

• Auteur / Autrice : Sophian Mehalla
• Direction : Bernard Lapeyre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/10/2021
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Aurélien Alfonsi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Lapeyre, Christa Cuchiero, Peter Tankov, Zorana Grbac, Sergio Pulido, Alexandre Boumezoued, Caroline Hillairet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christa Cuchiero, Peter Tankov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Processus stochastiques

Assurance -- Mathématiques

Taux d'intérêt

Mots clés libres

Modélisation

Calcul stochastique

Taux d'intérêt

Volatilité

Assurance

Optimisation

Modeling

Stochastic calculus

Interest rates

Volatility

Insurance

Optimization

Résumé

Compte tenu de la durée de vie relativement longue des engagements liant assureurs et assurés, la majeure partie du portefeuille d’actifs des assureurs est obligataire. Le principal risque financier auquel sont exposés les assureurs est alors lié aux mouvements de taux d’intérêt. La modélisation dédiée au risque de taux nécessite d'importantes ressources opérationnelles, notamment lors du calibrage de ces modèles. Cette thèse est motivée par l’étude et l’établissement de méthodologies efficaces pour le calibrage des modèles de taux tels qu'utilisés par les assureurs/réassureurs. Le modèle de marché LIBOR (LIBOR Market Model) et ses variantes sont particulièrement populaires parmi les assureurs. En pratique, un certain nombre d’approximations est nécessaire pour rendre ces modèles opérationnels. Cela passe notamment par l’obtention de formules (semi) analytiques sur lesquelles repose le processus de calibrage. Nous discuterons de la validité et de la possible amélioration des approximations effectuées. La première d’entre elles est la technique dite de figement ("freezing") qui consiste à supprimer une part de l’aléa du modèle afin de rendre possible l’obtention de formules fermées. Nous montrerons que le modèle ainsi approché conserve une richesse suffisante pour permettre une réplication suffisamment précise des données de marchés dans les conditions économiques actuelles. Dans un second temps, nous étudierons les modèles intégrant un facteur de volatilité stochastique. Un modèle très populaire parmi les assureurs assimile la volatilité à un processus Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Nous proposerons une modélisation alternative dans laquelle des méthodes numériques efficaces peuvent être implémentées avec la garantie d’une précision suffisante. Le modèle proposé repose sur l’utilisation d’un processus Jacobi afin de représenter la volatilité stochastique et dont le caractère borné est crucial pour nos considérations. Nous montrerons que le processus Jacobi converge vers le processus CIR et pourrons établir des vitesses de convergence utiles pour mesurer la distance entre le modèle proposé et le modèle de référence. Enfin, le calibrage des modèles reposant sur un algorithme d’optimisation numérique. Nous discuterons de l’impact des différents types d’algorithmes sur la précision du calibrage ainsi que sur le temps de calcul nécessaire.

In view of the quite long lifetime of insurance contracts, major part of insurers/reinsurers assets portfolios is composed of bonds. Consequently, the main financial risk the insurers are exposed to is the interest rates risk. Models dedicated to this risk require significant part of operational resources notably for their calibration processes. This thesis is motivated by the study and the establishment of efficient calibration procedures for interest rates models as used by insurance/reinsurance undertakings. The LIBOR Market Model (LMM) and its different versions are much encountered among practitioners. In practice a number of approximations is needed to make them tractable. In particular, the derivation of closed-form formulas is key in order to calibrate those models in a reasonable time. The first approximation we will discuss is the so-called freezing technique: it consists in removing some randomness in the model by replacing stochastic quantities by their initial values so that analytical formulas can be derived then. We will see that the approximated model preserves sufficient flexibility to accurately reproduce current market data. Secondly, we will focus on models comprising stochastic volatility factor. A popular modelling framework among insurers is based on the representation of the volatility factor by the well-known Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process. We will propose an alternative framework in which the volatility factor is modelled by a Jacobi process whose boundedness is crucial for our purposes. We will prove that the Jacobi process converges towards the CIR one and derive some speeds of convergence. Those will be useful to measure the distance between the two models. Finally, calibration of financial models are based on optimization algorithms: we will discuss their impact on the accuracy of data replication and the computational time.