Cubes partiels : complétion, compression, plongement

Partial cubes : completion, compression, embedding

• Auteur / Autrice : Manon Philibert
• Direction : Victor Chepoi, Kolja Knauer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 03/12/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d’Informatique et Systèmes (Marseille ; La Garde, Var ; 2018-….)
• Jury : Président / Présidente : Nabil Mustafa
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marthe Bonamy, Jérémie Chalopin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emeric Gioan, Frédéric Meunier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes, Théorie géométrique des

Théorie des graphes

Treillis distributifs

Structures de données (informatique)

Mots clés libres

Cube partiel

VC-Dimension

Pc-Mineur

Schéma de compression

Famille ample

Plongement isométrique

Complexe de matroïdes orientés

Partial cube

VC-Dimension

Pc-Minor

Compression scheme

Ample sets

Isometric embedding

Complexe of oriented matroids

Résumé

Les sous-graphes isométriques d'hypercubes (dit cubes partiels) constituent une classe centrale de la théorie métrique des graphes. Ils englobent des familles de graphes importantes (arbres, graphes médians, etc.), provenant de différents domaines de recherche, tels que la géométrie discrète, la combinatoire ou la théorie géométrique des groupes. Nous étudions tout d'abord la structure des cubes partiels de VC-dimension 2. Nous montrons que ces graphes peuvent être obtenus par amalgamations à partir de deux types de cellules combinatoires.Cette décomposition nous permet d’obtenir diverses caractérisations. En particulier, tout cube partiel de VC-dimension 2 peut être complété en cube partiel ample de VC-dimension 2. Nous montrons ensuite que les graphes de topes des matroïdes orientés et des complexes de matroïdes orientés uniformes peuvent aussi être complétés en cubes partiels amples de même VC-dimension.En utilisant un résultat de Moran et Warmuth, nous établissons que ces classes vérifient la conjecture de Floyd et Warmuth, l'une des plus vielles conjectures en théorie de l'apprentissage. C'est-à-dire qu'elles admettent des schémas de compression (étiquetés non propres) de taille leur VC-dimension.Par la suite, nous décrivons un schéma de compression étiqueté propre de taille d pour les complexes de matroïdes orientés de VC-dimension d, généralisant ainsi le résultat de Moran et Warmuth pour les amples. Enfin, nous fournissons une caractérisation par pc-mineurs exclus et parsous-graphes isométriques interdits des cubes partiels plongeables isométriquement dans la grille Z^2 et dans le cylindre P_n \square C_{2k} pour un certain n et k > 4.

Partial cubes (aka isometric subgraphs of hypercubes) are a fundamental class of metric graph theory. They comprise many important graph classes (trees, median graphs, tope graphs of complexes of oriented matroids, etc.), arising from different areas of research such as discrete geometry, combinatorics or geometric group theory.First, we investigate the structure of partial cubes of VC-dimension 2. We show that those graphs can be obtained via amalgams from even cycles and full subdivisions of complete graphs. This decomposition allows us to obtain various characterizations. In particular, any partial cube can be completed to an ample partial cube of VC-dimension 2. Then, we show that the tope graphs of oriented matroids and complexes of uniform oriented matroids can also be completed to ample partial cubes of the same VC-dimension.Using a result of Moran and Warmuth, we establish that those classes satisfy the conjecture of Floyd and Warmuth, one of the oldest open problems in computational machine learning. Particularly, they admit (improper labeled) compression schemes of size their VC-dimension.Next, we describe a proper labeled compression scheme of size d for complexes of oriented matroids of VC-dimension d, generalizing the result of Moran and Warmuth for ample sets. Finally, we give a characterization via excluded pc-minors and via forbidden isometric subgraphs of partial cubes isometrically embedded into the grid \mathbb{Z}^2 and the cylinder P_n \square C_{2k} for some n and k > 4.