Greedy approaches to approximation of some NP-hard combinatorial optimization problems
Approches gloutonnes pour l'approximation de problèmes combinatoires NP-difficiles
Résumé
The greedy approach is natural for the design of algorithms. It is fast, easy to implement, has a good performance on average, and is applicable to many optimization problems in various settings. For those reasons, it is an important heuristic in practice. In this thesis, we present greedy algorithms for three different NP-hard optimization problems. We discuss the relation between those algorithms, their proof techniques and the structure of the problems under study. In the first part of this thesis, we focus on the Maximum Coverage problem with a connectivity constraint, which comes up for the design of wireless networks. We show that the problem is NP-hard, even when the coverage and the connectivity are induced by a set of unit disks in the plane. For that special case, we show that greedily picking two disks so as to maximize the marginal area covered while correctness achieves a 2-approximation. We further improve the approximation ratio by providing a PTAS for this problem with a small resource augmentation, using Arora’s shifted grid dissection technique. In the second part of this thesis, we focus on the Maximum Independent Set problem. A natural approach is to repeatedly pick a vertex of minimum degree, and remove it and its neighbours from the graph. We present a new technique to analyze the performance of this greedy approach in various classes of graphs and address the following question: if there are several minimun-degree vertices, what vertex should the greedy algorithm pick in order to maximise the size of the final solution ? With this tool, we design an ”ultimate tie-breaking” rule that leads to the best possible approximation ratio for sub-cubic graphs and for this type of greedy algorithms. We complement this by lower bound results that show that designing good tie-breaking rules is a difficult task. The third and last part of the thesis is devoted to the Maximum Integral Multiflows problem. The problem is difficult and well-studied. For instance, a constant factor approximation is unlikely to exist even when the supply graph is planar and cubic. In the special case where the supply graph together with the demand edges form a bounded genus graph, we present a constant factor approximation algorithm. The algorithm consists of a succession of greedy procedures that exploit topological properties of graphs and curves on surfaces.
L’approche gloutonne est naturelle pour concevoir un algorithme. Elle permet la conception d’algorithmes rapides, faciles à implémenter, qui produisent en moyenne des solutions de qualité, pour de nombreux problèmes d’optimisation. Pour ces raisons, c’est une heuristique importante en pratique. Dans cette thèse, nous présentons des algorithmes gloutons pour trois problèmes d’optimisation NP-difficiles. Nous discutons les relations entre ces algorithmes, leurs techniques de preuve et la structure des problèmes étudiés. Dans la première partie de cette thèse, on se concentre sur le problème de la couverture maximale avec une contrainte de connexité, contrainte que l’on rencontre lors de la conception de réseaux sans fil. Nous montrons que le problème est NP-difficile, même quand la couverture et la connexité proviennent d’un ensemble de disques unité dans le plan. Pour ce cas particulier, nous montrons que choisir de manière gloutonne deux disques qui maximisent le gain marginal tout en maintenant la solution connexe réalise une 2-approximation. Nous améliorons ce ratio d’approximation en donnant un schéma d’approximation en temps polynomial avec une légère augmentation de ressource, basé sur la technique d’Arora pour le voyageur de commerce euclidien. Dans la deuxième partie de cette thèse, on se concentre sur le problème du stable maximum. Une approche naturelle est de successivement choisir un sommet de degré minimum, le placer dans la solution en construction, puis le retirer avec ses voisins du graphe. Nous présentons une nouvelle technique pour analyser la performance de cette approche gloutonne dans différentes classes de graphes et abordons la question suivante : s’il y a plusieurs sommets de degré minimum, lequel l’algorithme devrait-il choisir pour maximiser la taille de la solution finale ? Avec cet outil, nous concevons une règle pour briser les cas d’égalité, qui conduit à la meilleure approximation possible dans les graphes sous-cubiques et pour ce type d’algorithmes gloutons. Nous complémentons ces résultats par des résultats négatifs qui suggèrent que la conception de bonnes règles brisant les cas d’égalité est une tâche difficile. La troisième et dernière partie de la thèse est consacrée au problème du multiflot entier maximum. Ce problème est difficile et a été très étudié. Par exemple, une approximation de facteur constant est probablement impossible même quand le graphe d’offre est planaire et cubique. Dans le cas particulier où le graphe d’offre et les arêtes de demande forment ensemble un graphe de genre borné, nous présentons un algorithme avec un facteur d’approximation constant. L’algorithme consiste en une succession de procédures gloutonnes qui exploitent les propriétés topologiques des graphes et des lacets sur des surfaces.
Origine : Version validée par le jury (STAR)