Dynamique des endomorphismes post-critiquement algébriques

par Van Tu Le

Thèse de doctorat en Mathématiques et Applications

Sous la direction de Xavier Buff et de Jasmin Raissy.


  • Résumé

    Dans cette thèse, j'étudie la dynamique des endomorphismes de l'espace projectif complexe. Je m'intéresse aux endomorphismes post-critiquement algébriques, une notion qui généralise celle de fractions rationnelles post-critiquement finies en dimension 1. En particulier, j'étudie les valeurs propres d'un endomorphisme post-critiquement algébrique le long de l'orbite d'un point périodique. En dimension 1, un résultat bien connu, qui remonte aux travaux de Pierre Fatou, dit que ces valeurs sont soit nulles soit de module strictement plus supérieur à 1. Dans cette thèse, j'étudie une conjecture qui généralise ce résultat en dimension au moins 2. Dans la première partie de cette thèse, j'étudie une famille des endomorphismes post-critiquement algébriques introduite dans la thèse de Sarah Koch. En utilisant la caractérisation topologique des fractions rationnelles de William Thurston, sous certaines conditions, Sarah Koch a associé à une fraction rationnelle post-critiquement finie g un endomorphisme post-critiquement algébrique f. Lorsque g est un polynôme quadratique, je donne une caractérisation détaillée des valeurs propres de l'endomorphisme associé f en ses points fixes. En particulier, je montre que celles-ci sont soit nulles soit de modules strictement supérieurs à 1. Ce résultat suggère la validité de la conjecture. Dans la deuxième partie, je montre que la conjecture est vraie dans le cas de dimension 2 sans hypothèse supplémentaire et en toute dimension lorsque les points périodiques sont en dehors de l'ensemble post-critique et sans autre hypothèse.

  • Titre traduit

    Dynamics of post-critically algebraic endomorphisms


  • Résumé

    In this thesis, I study the dynamics of endomorphisms of the complex projective space. I am interested in post-critically algebraic endomorphisms, a notion which generalizes that of post-critically finite rational maps in dimension 1. In particular, I study the eigenvalues of a post-critically algebraic endomorphism along the orbit of a periodic point. In dimension 1, a well-known result, which is due to Pierre Fatou, states that these values are either zero or of modules strictly greater than 1. In this thesis, I study a conjecture which generalizes this result in dimension at least 2. In the first part of this thesis, I study a family of post-critically algebraic endo- morphisms introduced in Sarah Koch's thesis. Using the topological characterization of rational maps of William Thurston, under certain conditions, Sarah Koch associated with a post-critically finite rational map g a post-critically algebraic endomorphism f. When g is a quadratic polynomial, I give a detailed characterization of the eigenvalues of the endomorphism f at its fixed points. In particular, I show that these values are either zero or of modules strictly greater than 1. This result provides evidence of the validity of the conjecture. In the second part, I show that the conjecture is true in the case of dimension 2 without additional hypotheses and in any dimension when the periodic points are outside the post-critical set and without other hypotheses.


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2020 par Université Paul Sabatier à Toulouse

Dynamique des endomorphismes post-critiquement algébriques


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Informations

  • Sous le titre : Dynamique des endomorphismes post-critiquement algébriques
  • Détails : 1 vol. (XII-97 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 93-97
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