Théorie microlocale des faisceaux pour la transformation Radon

Microlocal sheaf theory for Radon transform

• Auteur / Autrice : Mehdi Benchoufi
• Direction : Julien Grivaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/11/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Schapira
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandru Oancea, Grégory Ginot, Aline Bonami
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Teresa Monteiro Fernandes, Claude Sabbah

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse mathématique

Dualité, Principe de (mathématiques)

Modules, Théorie des

Radon, Transformations de

Mots clés libres

Transformée de Radon

Analyse algébrique

D-modules

E-modules

Dualité projective

Catégorie dérivée

Radon transform

Algebraic analysis

D-modules

E-modules

Projective duality

Derived category

Résumé

Le sujet de cette thèse est une approche microlocale de la transformation de Radon. Il s’agit d’appliquer à la dualité projective complexe et réelle les techniques initiées dans l’article fondateur de Sato-Kashiwara-Kawai de 1972 et de retrouver, reformuler, améliorer des travaux d’analyse plus classiques sur ce sujet, en particulier ceux de G. Henkin ou S. Gindikin. La dualité projective vue sous l’angle microlocal et faisceautique est apparue pour la première fois dans un travail important de J-L. Brylinski sur les faisceaux pervers, travail repris ensuite par D’Agnolo et Schapira dans le cadre des D-modules. Notre travail est de reprendre systématiquement cette étude avec les nouveaux outils de la théorie microlocale des faisceaux (théorie qui n’existait pas à l’époque de SKK72). Ce travail se compose essentiellement de deux parties. Dans la première, nous commençons par rappeler dans un cadre général la construction des transformations canoniques quantifiées, sous l’hypothèse de l’existence d’une section simple non-dégénérée (introduite sous un autre nom par J. Leray). Cette construction n’avait jamais été faite dans un cadre global hors du cas projectif. Nous montrons alors que ces transformations commutent à l’action des opérateurs microdifferentiels. Il s’agit là d’un résultat fondamental sans qu’aucune preuve consistante n’existe dans la littérature, ce résultat étant plus ou moins sous-entendu dans SKK72. La deuxième partie de la thèse traite des applications à la transformation de Radon “clas-sique”. L’idée de base est que cette transformation échange support des hyperfonctions (modulo analyticité) et front d’onde analytique. Nous obtenons ainsi des théorèmes de prolongement ou d’unicité sur les ouverts linéellement concave. Nous obtenons aussi un théorème des résidus pour les valeurs au bord de classes de cohomologie définies sur les cônes de signatures (1, n − 1), clarifiant substantiellement des travaux de Cordaro-Gindikin-Trèves.

The subject of this thesis is a microlocal approach to the transformation of Radon. It is a question of applying to real and complex projective duality the techniques initiated in the founding article of Sato-Kashiwara-Kawai of 1972 and to find, reformulate, improve more classic analytical work on this subject, in particular those of G. Henkin or S. Gindikin. Pro-jective duality seen from the microlocal and sheaf point of view appeared for the first time in an important work by J-L. Brylinski on perverse sheaves, work then taken up by D'Agnolo and Schapira in the framework of D-modules. Our work is to systematically resume this study with the new tools of the microlocal sheaf theory (theory which did not exist at the time of SKK72). This work essentially consists of two parts. In the first, we begin by recalling in a general framework the construction of quantized ca-nonical transformations, under the hypothesis of the existence of a simple non-degenerate section (introduced under another name by J. Leray). This construction had never been done in a global framework outside the projective case. We then show that these transfor-mations exchange the action of the microdifferential operators. This is a fundamental re-sult without any consistent proof existing in the literature, this result being more or less implied in SKK72. The second part of the thesis deals with the applications to the “classical” Radon trans-form. The basic idea is that this transform exchanges the support of hyperfunctions (modu-lo analyticity) and the analytic wavefront set. We thus obtain theorems of continuation or uniqueness on linearly concave domain. We also get a residue theorem for the boundary values of finite cohomology classes defined on cones with (1, n-1) signature, substantially clari-fying the work of Cordaro-Gindikin-Trèves.