Méthodes numériques par quantification optimale en finance

Numerical methods by optimal quantization in finance

• Auteur / Autrice : Thibaut Montes
• Direction : Gilles Pagès, Vincent Lemaire
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Probabilités
• Date : Soutenance le 24/06/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Benjamin Jourdain
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Idris Kharroubi, Huyên Pham, Abass Sagna
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giorgia Callegaro, Benoîte de Saporta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèle de Heston

Options (finances)

Finances -- Modèles mathématiques

Probabilités

Mots clés libres

Probabilités numériques

Quantification optimale

Erreur faible

Finance

Modèle d'Heston

Optimisation

Numerical probability

Optimal quantisation

Weak error

Finance

Heston model

Optimization

Résumé

Cette thèse est divisée en quatre parties pouvant être lues indépendamment. Dans ce manuscrit, nous apportons quelques contributions à l’étude théorique et aux applications en finance de la quantification optimale. Dans la première partie, nous rappelons les fondements théoriques de la quantification optimale ainsi que les méthodes numériques classiques pour construire des quantifieurs optimaux. La seconde partie se concentre sur le problème d’intégration numérique en dimension 1. Ce problème apparait lorsque l’on souhaite calculer numériquement des espérances, tel que l’évaluation de produits dérivés. Nous y rappelons les résultats d’erreurs forts et faibles existants et étendons les résultats des convergences d’ordre 2 à d’autres classes de fonctions moins réguliers. Dans un deuxième temps, nous présentons un résultat de développement d’erreur faible en dimension 1 et un second développement en dimension supérieure pour un quantifieur produit. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à une première application numérique. Nous introduisons un modèle de Heston stationnaire dans lequel la condition initiale de la volatilité est supposée aléatoire de loi la distribution stationnaire de l’EDS du CIR régissant la volatilité. Cette variante du modèle de Heston original produit pour les options européennes sur les maturités courtes un smile de volatilité implicite plus prononcé que le modèle standard. Nous développons ensuite une méthode numérique à base de quantification récursive produit pour l’évaluation d’options bermudiennes et barrières. La quatrième et dernière partie traite d’une deuxième application numérique, l’évaluation d’options bermudiennes sur taux de change dans un modèle 3 facteurs. Ces produits sont connus sur les marchés sous le noms de PRDC. Nous proposons deux schémas pour évaluer ce type d’options toutes deux basées sur de la quantification optimale produit et établissons des estimations d’erreur à priori.

This thesis is divided into four parts that can be read independently. In this manuscript, we make some contributions to the theoretical study and financial applications of optimal quantization. In the first part, we recall the theoretical foundations of optimal quantization as well as the classical numerical methods to build optimal quantizers. The second part focuses on the problem of numerical integration in dimension 1. This problem arises when one wishes to numerically compute expectations, such as the valuation of derivatives in finance that are expressed as the expectation of a function of a single financial asset. We recall the existing strong and weak error results and extend the results of order 2 convergence rate to other function classes with less regularity. In a second step, we present a weak error development result in one dimension and a second development in a higher dimension when the chosen quantizer is a product quantizer. In the third part, we look at a first numerical application. We introduce a stationary Heston model in which the initial condition of volatility, instead of being deterministic as in the standard model, is assumed to be randomly distributed with the stationary distribution of the CIR EDS governing volatility. This variant of the original Heston model produces for European options on short maturities a steeper smile of implied volatility than the standard model. We then develop a product recursive quantization-based numerical method for the valuation of Bermudan options and barriers. The fourth and last part deals with a second numerical application, the pricing of Bermudan exchange rate options in a 3 factor model, i.e. where the exchange rate, domestic and foreign interest rates are stochastic. These products are known in the markets as PRDC (Power Reverse Dual Currency). We propose two schemes to evaluate this type of options, both based on optimal product quantization and establish a priori error estimates.