Étude schématique du schéma des arcs

Study of the scheme structure of arc scheme

• Auteur / Autrice : Mario Morán Cañón
• Direction : Julien Sebag
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 17/07/2020
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gröbner, Bases de

Variétés toriques

Courbes planes

Singularités (mathématiques)

Mots clés libres

Schéma des arcs

Singularités

Courbes planes

Variétés toriques

Bases de Gröbner

Voisinages formels

Espace tangent

Arc scheme

Singularity theory

Plane curves

Toric varieties

Gröbner bases

Formal neighborhoods

Tangent space

Résumé

Le schéma des arcs associé à une variété algébrique définie sur un corps paramètre les germes formels de courbes que l'on peut tracer sur la variété considérée. Nous étudions certaines propriétés schématiques locales du schéma des arcs d’une variété. Étant donnée une courbe affine plane singulière définie par un polynôme réduit homogène ou homogène à poids, nous calculons, principalement par des arguments d'algèbre différentielle, des présentations de l'idéal définissant l'adhérence du lieu lisse de l'espace tangent qui est toujours une composante irréductible de cet espace. En particulier, nous obtenons une base de Gröbner de cet idéal, ce qui nous permet de décrire les fonctions de l'espace tangent de la variété qui sont nilpotentes dans le schéma des arcs. Par ailleurs, nous étudions le voisinage formel dans le schéma des arcs d’une variété torique normale de certains arcs appartenant à l’ensemble de Nash associé à une valuation divisorielle torique. Nous établissons un théorème de comparaison, dans le schéma des arcs, entre le voisinage formel du point générique de l’ensemble de Nash et celui d'un arc rationnel suffisamment général dans ce même ensemble de Nash.

The arc scheme associated with an algebraic variety defined over a field parameterizes the formal germs of curves lying on the considered variety. We study some local schematic properties of the arc scheme of a variety. Given an affine plane curve singularity defined by a reduced homogeneous or weighted homogeneous polynomial, we compute, mainly using arguments from differential algebra, presentations of the ideal defining the Zariski closure of the smooth locus of the tangent space, which is always an irreducible component of this space. In particular, we obtain a Groebner basis of such ideal, which gives a complete description of the functions of the tangent space of the variety which are nilpotent in the arc scheme. On the other hand, we study the formal neighbourhood in the arc scheme of a normal toric variety of certain arcs belonging to the Nash set associated with a divisorial toric valuation. We establish a comparison theorem, in the arc scheme, between the formal neighbourhood of the generic point of the Nash set and that of a rational arc sufficiently generic in the same Nash set.