Équation des ondes sur les espaces symétriques et localement symétriques de type non compact

Wave equation on symmetric and locally symmetric spaces of noncompact type

• Auteur / Autrice : Hongwei Zhang
• Direction : Jean-Philippe Anker, Nicolas Burq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/12/2020
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Luc Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Philippe Anker, Nicolas Burq, Luc Hillairet, Michael Cowling, Nikolay Tzvetkov, Valeria Banica, Michael Ruzhansky
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michael Cowling, Nikolay Tzvetkov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Relations de dispersion

Espaces symétriques

Équations d'onde

Mots clés libres

Espace symétrique

Espace localement symétrique

Équation des ondes

Propriété de dispersion

Inégalité de Strichartz

Spectre de laplacian

Symmetric space

Locally symmetric space

Wave equation

Dispersive property

Strichartz inequality

Spectrum of Laplacian

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation des ondes sur les espaces symétriques et localement symétriques de type non compact. Un de nos principaux résultats est l’obtention des estimations ponctuelles du noyau pour l’équation des ondes sur les espaces symétriques non compacts de rang supérieur. Elles nous permettent de démontrer la propriété de dispersion et d’établir l’inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisions que l’équation des ondes semi-linéaire correspondante est globalement bien posée pour les données initiales de régularité faible. Autrement dit, nous étendons les résultats obtenus sur les espaces hyperboliques réels aux espaces symétriques non compacts de rang général. L’autre partie de nos travaux concerne l'analyse sur les espaces localement symétriques. D’un côté, nous étudions les équations des ondes et de Klein-Gordon sur certains espaces localement symétriques de rang un. D’autre part, nous établissons une caractérisation pour le bas du spectre L2 du laplacien sur les espaces localement symétriques de rang général.

This thesis is devoted to the study of the wave equation on symmetric and locally symmetric spaces of noncompact type. One of our main results is to obtain pointwise kernel estimates for the wave equation on noncompact symmetric spaces of higher rank. They allow us to prove the dispersive property and to establish the Strichartz inequality for a large family of admissible pairs. We deduce global well-posedness results for the corresponding semilinear wave equation with low regularity initial data. In other words, we extend the results obtained on real hyperbolic spaces to noncompact symmetric spaces of general rank. The other part of our work concerns analysis on locally symmetric spaces. On the one hand, we study the wave and Klein-Gordon equations on certain locally symmetric spaces of rank one. On the other hand, we establish a characterization for the bottom of L2 spectrum of Laplacian on locally symmetric spaces of general rank.