Permutons limites universels de permutations aléatoires à motifs exclus

Universal permuton limits of random pattern-avoiding permutations

• Auteur / Autrice : Mickaël Maazoun
• Direction : Grégory Miermont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/11/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (Lyon ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Thomas Duquesne
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Grégory Miermont, Thomas Duquesne, Eric Fusy, Mireille Bousquet-Mélou, Alice Guionnet, Igor Kortchemski, Bruno Salvy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Fusy, Svante Janson
• DOI : 10.70675/5c97ca54ze592z4463zbff6ze6468e3bc148

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Mots clés libres

Limites d’échelle

Permutations

Motifs de permutations

Permutons

Probabilités discrètes

Combinatoire analytique

Permutations de Baxter

Arbre brownien

Scaling limits

Permutations

Permutation patterns

Permutons

Combinatorial Probability

Analytic combinatorics

Baxter permutations

Continuum Random Tree

Résumé

Les permutations à motifs exclus sont un thème important de la combinatoire énumérative et leur étude probabiliste un sujet récent en pleine expansion, notamment l'étude de la limite d'échelle, au sens des permutons, du diagramme d'une permutation aléatoire uniforme dont la taille tent vers l'infini dans une classe définie par exclusion de motifs. Le cas des permutations séparables a été étudié par Bassino, Bouvel, Féray, Gerin et Pierrot, qui ont démontré la convergence vers un objet aléatoire, permuton séparable Brownien. Nous fournissons une construction explicite à partir de processus stochastiques permettant d'étudier les propriétés fractales et de calculer certaines statistiques de cet objet. Nous étudions la classe d'universalité de ce permuton dans le cadre des classes admettant une spécification finie au sens de la décomposition par substitution. Pour nombre d'entre elles, sous une condition combinatoire simple, leur limite est une déformation à un paramètre du permuton séparable Brownien. Dans le cas des classes closes par substitution, nous considérons également des conditions suffisantes pour sortir de cette classe d'universalité, et introduisons la famille des permutons stables. Les cographes sont les graphes d'inversion des permutations séparables. Nous étudions par des méthodes similaires la convergence au sens des graphons du cographe étiqueté ou non-étiqueté uniforme, et montrons que le degré normalisé d'un sommet uniforme dans un cographe uniforme est asymptotiquement uniforme. Finalement, nous étudions les limites d'échelle et locale de la famille à motifs vinculaires exclus des permutations de Baxter. Cette classest en bijection avec de nombreux objets combinatoires remarquables, notamment les cartes bipolaires orientées. Notre résultat s'interprète en terme de la convergence de telles cartes au sens de la Peanosphere, complétant un résultat de Gwynne, Holden et Sun.

Pattern-avoiding permutations are an important theme of enumerative combinatorics, and their study from a probabilistic point of view form a recently expanding subject, for instance by considering the scaling limit behavior, in the permuton sense, of the diagram of a large uniform permutation in a pattern-avoiding class. The case of separable permutations was studied by Bassino, Bouvel, Féray, Gerin and Pierrot, who showed convergence to a random object, the Brownian separable permuton. We provide an explicit construction through stochastic processes, allowing to study the fractal properties, and compute some statistics, of this object. We study the universality class of this permuton among classes admitting a finite specification in the sense of the so-called decomposition substitution. For many of them, under a simple combinatorial condition, their limit is a one-parameter deformation of the Brownian permuton. In the specific instance of substitution-closed classes, we also consider sufficient conditions to escape this universality class, and introduct the family of stable permutons. Cographs are the inversion graphs of separable permutations. Using similar methods, we investigate the scaling limit in the graphon sense of uniform labeled and unlabeled cographs. We also show that the normalized degree of a uniform vertex in a uniform cograph is asymptotically uniform. Finally, we study local and scaling limits of Baxter permutations, a class avoiding vincular patterns. This family is in bijection with many remarkable combinatorial objects, in particular bipolar oriented maps. Our result has interpretations in terms of the Peanosphere convergence of such maps, completing a result of Gwynne, Holden and Sun.