Distance and geometry of the set of curves and approximation of optimal trajectories

par Van Duc Hoang

Thèse de doctorat en Mathematiques et applications

Sous la direction de Jacques-Arthur Weil et de Olivier Ruatta.

Soutenue le 12-02-2020

à Limoges , dans le cadre de École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges) , en partenariat avec XLIM (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Claude Yakoubsohn.

Le jury était composé de Jacques-Arthur Weil, Olivier Ruatta, Paul Armand, Fabien Caubet.

Les rapporteurs étaient Jean-Claude Yakoubsohn, Bernard Mourrain.

  • Titre traduit

    La distance et la géométrie de l'ensemble des courbes et l'approximation des trajectoires optimales


  • Résumé

    Les problèmes d'optimisation sur l'ensemble des courbes apparaissent dans de nombreux domaines d'applications industrielles comme la robotique, la planification de mouvements et l'aérospatiale. Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des courbes et proposons une méthode générale pour problèmes d'optimisation de trajectoires, équations différentielles ordinaires autonomes et commande des équations différentielles ordinaires autonomes. Dans la première partie, nous fournissons une normalisation des courbes paramétrées sous l'action des difféomorphismes croissants et nous utilisons cette normalisation pour définir une distance entre les courbes paramétrées. Nous étudions ensuite la topologie et la structure différentielle sur l'ensemble des courbes. Dans la seconde partie nous définissons une norme sur l'espace des courbes de Bézier cubique par morceaux et nous estimons quelques constantes d'équivalence pour cette norme et certaines normes classiques. Dans la dernière partie de cette thèse est proposée une méthode générale pour approximer des trajectoires optimales en utilisant des courbes de Bézier cubiques par morceaux. Cette idée est appliquée aux équations différentielles autonomes et au contrôle des équations différentielles autonomes.


  • Résumé

    Optimization problems on the set of curves appear in many fields of applications such as industry, robotic, path-planning and aerospace. This thesis is devoted to study the set of curves and propose a general method for trajectory optimization problems, autonomous ODEs and control of autonomous ODEs. In the first part, we provide a normalization of parametrized curves up to increasing diffeomorphism and use it to define a distance between curves. Then, we study topologies and differential structures on the set of curves. The second part defines a norm on spaces of piecewise cubic Bézier curves and estimates equivalence constants for this norm and some classical norms. The last part proposes a general method to approximate optimal trajectories using piecewise cubic Bézier curves. This idea is applied to autonomous ODEs and control of autonomous ODEs.


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