La distance et la géométrie de l'ensemble des courbes et l'approximation des trajectoires optimales

Distance and geometry of the set of curves and approximation of optimal trajectories

• Auteur / Autrice : Van Duc Hoang
• Direction : Jacques-Arthur Weil, Olivier Ruatta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques et applications
• Date : Soutenance le 12/02/2020
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Président / Présidente : Jean-Claude Yakoubsohn
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques-Arthur Weil, Olivier Ruatta, Paul Armand, Fabien Caubet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Claude Yakoubsohn, Bernard Mourrain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Trajectoires spatiales

Équations différentielles

Géométrie différentielle

Bézier, Surfaces de

Courbes cubiques

Courbes algébriques

Mots clés libres

Ensemble des courbes paramétrées

Courbes de Bézier

Courbes de Bézier cubiques par morceaux

Distance

Norme

Forme normale

Normalisation

Équations différentielles autonomes

Contrôle des équations différentielles autonome

Trajectoire optimale

Orbite

The set of curves

Bézier curves

Piecewise Bézier curves

Distance

Norm

Normal form

Normalization

Autonomous ODE

Control of autonomous ODE

Optimal trajectory

Orbit

Résumé

Les problèmes d'optimisation sur l'ensemble des courbes apparaissent dans de nombreux domaines d'applications industrielles comme la robotique, la planification de mouvements et l'aérospatiale. Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des courbes et proposons une méthode générale pour problèmes d'optimisation de trajectoires, équations différentielles ordinaires autonomes et commande des équations différentielles ordinaires autonomes. Dans la première partie, nous fournissons une normalisation des courbes paramétrées sous l'action des difféomorphismes croissants et nous utilisons cette normalisation pour définir une distance entre les courbes paramétrées. Nous étudions ensuite la topologie et la structure différentielle sur l'ensemble des courbes. Dans la seconde partie nous définissons une norme sur l'espace des courbes de Bézier cubique par morceaux et nous estimons quelques constantes d'équivalence pour cette norme et certaines normes classiques. Dans la dernière partie de cette thèse est proposée une méthode générale pour approximer des trajectoires optimales en utilisant des courbes de Bézier cubiques par morceaux. Cette idée est appliquée aux équations différentielles autonomes et au contrôle des équations différentielles autonomes.

Optimization problems on the set of curves appear in many fields of applications such as industry, robotic, path-planning and aerospace. This thesis is devoted to study the set of curves and propose a general method for trajectory optimization problems, autonomous ODEs and control of autonomous ODEs. In the first part, we provide a normalization of parametrized curves up to increasing diffeomorphism and use it to define a distance between curves. Then, we study topologies and differential structures on the set of curves. The second part defines a norm on spaces of piecewise cubic Bézier curves and estimates equivalence constants for this norm and some classical norms. The last part proposes a general method to approximate optimal trajectories using piecewise cubic Bézier curves. This idea is applied to autonomous ODEs and control of autonomous ODEs.