Uncertainties estimation in Full Waveform Inversion using Ensemble methods

par Julien Thurin

Thèse de doctorat en Terre Solide

Sous la direction de Romain Brossier et de Ludovic Métivier.

Le président du jury était Yann Capdeville.

Le jury était composé de Alexandre Fournier.

Les rapporteurs étaient Andrew Curtis, Andreas Fichtner.

  • Titre traduit

    Evaluation des incertitudes en inversion des formes d'ondes par méthodes d'ensemble


  • Résumé

    L'inversion de forme d'onde complète (FWI) est une méthode d'inversion non-linéaire qui a pour but l'obtention de modèles précis des propriétés physiques du sous-sol terrestre. Ces modèles, véritables cartes de propriétés physiques, sont indispensables pour l'exploration et l'étude des structures internes de la Terre.Généralement formulée sous la forme d'un schéma d'optimisation par la méthode des moindres carrés, la FWI compare des enregistrements sismiques observés en surface, avec des données synthétiques calculées à partir d'un modèle numérique de sous-sol. Alors qu'une infinité de modèles peut potentiellement expliquer les observations, la FWI, du fait de sa formulation, ne permet d'obtenir qu'un seul modèle du sous-sol fortement conditionné par le choix de modèle de départ. À cette ambiguïté s'ajoute la difficulté d'estimer l'incertitude de la solution, à cause du coût de calcul prohibitif de la FWI. La non-unicité de la solution et le manque de moyens d'estimation d'incertitude rend l'exploitation des modèles de FWI compliquée.Dans cette thèse, nous proposons une méthode non conventionnelle et abordable, intégrant l’estimation d’incertitude au coeur de la solution de FWI. Notre méthode combine la FWI conventionnelle et l’assimilation de données par méthodes d’ensemble. De ce fait, elle tire avantage de la vitesse de convergence de la FWI conventionnelle, ainsi que des capacités d'estimation d'incertitude du Filtre de Kálmán d'Ensemble dit "Transform" (ETKF). Cette combinaison est permise par les fondements théoriques communs aux problèmes d'optimisation en FWI conventionnelle et au filtrage bayésien de l'ETKF. Nous utilisons ce schéma, l’ETKF-FWI, afin de transposer le problème de FWI dans le cadre de l'inférence Bayésienne locale. Au lieu d’une unique solution, l’ETKF-FWI retourne un ensemble de modèles qui permet à la fois de calculer la meilleure solution au sens des moindres carrés, mais aussi l'information d’incertitude et de résolution associée à chaque paramètre. Cette estimation d’incertitude est rendue possible par l’approximation de bas-rang de la matrice de covariance a posteriori, calculée à partir de l’ensemble. Les valeurs de variance permettent d’évaluer le degré de variabilité de la solution au sein de l’ensemble. La résolution est quant à elle, donnée par les termes hors diagonaux de la matrice de corrélation, qui est préférée à la matrice de covariance pour sa nature adimensionnelle.L'application de l'ETKF-FWI à deux cas d'études (un test synthétique et une application sur données de terrain) nous permet d'évaluer la faisabilité, ainsi que les limites de notre technique. Malgré le coût de calcul important lié à la représentation d’ensemble, cette stratégie permet une implémentation complètement parallèle, la rendant avantageuse au regard des solutions existant dans la littérature.Ces tests nous permettent d’évaluer l’influence de la taille de l’ensemble sur l’estimation de la variance, en caractérisant le biais de sous-échantillonnage associé aux petits ensembles. Bien que ce biais soit classiquement corrigé grâce aux méthodes d’inflation d’ensemble, celles-ci ne semblent pas adaptées à l’ETKF-FWI, limitant l’estimation d’incertitude à des évaluations qualitatives. De plus, la complexité de l’application sur données de terrain impacte la création de l’ensemble initial, ce qui influence directement les capacités de l’ETKF-FWI à produire une estimation quantitative de l’incertitude.Nous terminons par l’application de l'ETKF-FWI à une inversion de plusieurs paramètres physique (vitesse des ondes P et densité), considéré comme un défi majeur en FWI conventionnelle. Ce test nous permet d’évaluer qualitativement les liens de corrélation et d'ambiguïté entre vitesse et densité, ainsi que leurs incertitude et résolution respectives. De plus, le modèle moyen issu de l’ETKF-FWI semble être de qualité supérieure, ce qui laisse supposer d’un possible effet de préconditionnement fourni par la covariance.


  • Résumé

    Full Waveform Inversion (FWI) is an ill-posed non-linear inverse problem, aiming at recovering detailed pictures of subsurface physical properties, which are crucial to explore and understand Earth structures.Classically formulated as a least-squares optimization scheme, FWI yields a single subsurface model amongst an infinite possibility of solutions. With the general lack of systematic and scalable uncertainty estimation, this formulation makes interpretation of FWI's outcomes complex.In this thesis, we propose an unconventional, scalable way of tackling the lack of uncertainty estimation in FWI, thanks to data assimilation ensemble methods. We develop a scheme combining both classical FWI and the Ensemble Transform Kalman Filter, that we call ETKF-FWI, and which is successfully applied on two 2-D test cases. This scheme takes advantage of the theoretical common-ground between least-squares optimization problems and Bayesian filtering. We use it to recast FWI in a local Bayesian inference framework, thanks to the ensemble representation. The ETKF-FWI provides high-resolution subsurface tomographic models and yields a low-rank approximation of the posterior covariance, holding the uncertainty and resolution information of the proposed solution. We show how the ETKF-FWI can be applied to qualitatively evaluate uncertainty and resolution of the solution. Instead of providing a single solution, the filter yields an ensemble of models, from which statistical information can be inferred.Uncertainty is evaluated from the ensemble's variance, which relates to the diversity of solution amongst the ensemble members for each parameter. We show that lines of the correlation matrix are ideal to evaluate qualitatively parameters resolution, thanks to their adimentionality. While the methodology is computationally intensive, it has the benefit of being fully scalable. Its applicability is demonstrated on a synthetic benchmark. This preliminary test allows us to assess the sensitivity of the ensemble representation to the common undersampling bias encountered in ensemble data assimilation. While undersampling does not affect the image reconstruction in any way, it results in variance underestimation, which makes the whole exercise of quantitative uncertainty assessment complicated. Ensemble inflation has been used to mitigate this bias, but does not seems to be a practical solution.A field data experiment is also discussed in this thesis. It makes it possible to test the sensitivity of the ETKF-FWI to complex noise structure and realistic physics. As it stands, the complexity of the problem reduces flexibility in the ensemble generation, and hence on the uncertainty estimate. Despite these limitations, results are consistent with the synthetic benchmark, and we are able to provide a qualitative uncertainty assessment. The field data case also allows us to evaluate the possibilities to use the ETKF-FWI on multiparameter inversion, which is still regarded as a challenging topic in FWI. The ETKF-FWI multiparameter inversion yields improved models compared with conventional ones. More importantly, it makes it possible to assess the uncertainty associated with parameters cross-talks.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université Savoie Mont Blanc (Chambéry-Annecy). Service commun de la documentation et des bibliothèques universitaires. Bibliothèque électronique.
  • Bibliothèque : Service Interétablissement de Documentation. LLSH Collections numériques.
  • Bibliothèque : Service interétablissements de Documentation. STM. Collections numériques.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.