Fluides non newtoniens avec surface libre : modélisation et caractère bien posé

Non Newtonian Fluids with Free Surface : Modeling and Well-posedness

• Auteur / Autrice : Khawla Msheik
• Direction : Didier Bresch, Raafat Talhouk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/09/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes en cotutelle avec École doctorale des Sciences et de Technologie (Beyrouth)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques (Chambéry)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Lagoutière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marguerite Gisclon, Anne-Laure Dalibard Roux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Paul Vila, Laurent Chupin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fluides newtoniens

Entropie

Mots clés libres

Eaux peu profondes

Pseudo-Plastique

Entropie

Lubrification

Oldroyd

Surface libre

Shallow water

Pseudo-Plastic

Entropy

Lubrication

Oldroyd

Free surface

Résumé

Cette thèse porte sur la compréhension de systèmes dynamiques liés aux films liquides minces entraînés par la gravité; principalement des modèles d’eau peu profonde et des équations de lubrification. D’un point de vue modélisation, nous avons obtenu d’une part des modèles à 3 équations des eaux peu profondes pour les fluides newtoniens à viscosité constante décrivant l’évolution de la hauteur du fluide, de sa vitesse et d’une nouvelle variable définie équivalent eau taux de cisaillement. De tels modèles parviennent à capturer des régimes instables et à donner des résultats numériques satisfaisants pour l’étude de seuil d’instabilité et de la phase de l’onde à une distance modérée du seuil. D’autre part, une équation de lubrification et un modèle d’eau peu profonde ont été obtenu à partir d’un modèle de fluide non-Newtonien connu sous le nom de fluide bi-visqueux- dont la rhéologie se rapproche de celle des fluides pseudo plastiques et de Bingham. Concernant la partie analyse, l’existence globale de solutions faibles non négatives pour les équations de lubrification, telles que l’équation de Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn, partant des solutions faibles non négatives pour les équations appropriées d’eau peu profonde visqueuse (en manipulant les termes de traînée et la formule de capillarité), est montrée. La nouveauté dans ce travail est de montrer que l’entropie BF qui a été introduite pour les équations de lubrification dans le contexte des films minces est encodée dans l’entropie BD introduite pour Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité. On s’intéresse également aux solutions dissipatives pour des systèmes incompressible et compressible de type Oldroyd ainsi qu’aux solutions faibles pour un système dégénéré de type Bingham.

The work in this thesis falls in the category of comprehending dynamical systems relatedto thin liquid films driven by gravity; mainly shallow water models and lubrication equations.From a modeling point of view, we have derived from one hand 3-equation shallow water modelsfor Newtonian fluids with constant viscosity that describe the evolution of the fluid’s height, velocityand a new defined variable equivalent to the shear rate. Such models succeed in capturingunstable regimes and in giving satisfactory numerical results for the instability threshold andthe wave speed at moderate distance from threshold. On the other hand, a lubrication equationand a shallow water model were derived for a non Newtonian fluid- known as a bi-viscousfluid- whose rheology approximates that of pseudo plastic and Bingham fluids. Concerning theanalysis part, the global existence of nonnegative weak solutions for lubrication equations, suchas the Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation, is proved starting from nonnegative weak solutionsfor appropriate viscous shallow-water equations (playing with drag terms and capillarityformula). The novelty in this work is to show that the BF entropy which is introduced forlubrication equations in the context of thin films is encoded inside the BD entropy introducedfor compressible Navier Stokes equations with density dependent viscosity. We also investigatethe dissipative solution of Navier Stokes system of Oldroyd-B rheology, as well as the globalweak solution for degenerate lake system of Bingham rheology.