Algorithmes de chemin élémentaire : application aux échanges de reins

Algorithms for elementary path problem : application to kidney exchange

• Auteur / Autrice : Lucie Pansart
• Direction : Hadrien Cambazard, Nicolas Catusse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 18/09/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Sciences pour la conception, l'optimisation et la production (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Équipe de recherche opérationnelle pour les systèmes de production (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Entreprise : Floralis UGA Filiale
• Jury : Président / Présidente : Ana Viana
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maxime Ogier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Louis-Martin Rousseau, François Clautiaux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Relaxation, Méthodes de (mathématiques)

Programmation linéaire

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Programmation linéaire

Problème d’échange de reins

Problème de chemin élémentaire

Génération de colonnes

Color coding

Problème du stable

Linear programming

Kidney exchange problem

Elementary path problem

Column generation

Color coding

Stable set problem

Résumé

Cette thèse traite de problèmes de chemins élémentaires et leur application au problème d’échange de reins. Nous nous concentrons sur des programmes d’échange de reins qui incluent des donneurs altruistes, qui sont essentiels pour les patients avec une maladie rénale, mais représentent un défi pour les méthodes de recherche opérationnelle. Notre objectif est de développer un algorithme efficace qui pourra être utilisé pour résoudre des instances futures, qui sont susceptibles d’impliquer un grand nombre de participants. Nous rencontrons des problèmes étroitement lié au notre : problèmes de packing, de tournée de véhicules, de stable. Pour ce dernier, nous présentons une nouvelle formulation étendue et prouvons qu’elle est idéale et compacte pour les graphes parfaits sans griffe. Nous nous focalisons ensuite sur la conception d’une génération de colonnes dédiée au problème d’échange de reins et nous attaquons à son problème de pricing, NP-difficile. Nous abordons le problème du chemin élémentaire minimum avec contrainte de taille, qui modélise la recherche de chaînes de dons intéressantes à ajouter dans la phase du pricing. Nous étudions des approches dynamiques, en particulier la relaxation NG-route et l’heuristique de color coding, et les améliorons en exploitant la contrainte de taille et la faible densité des graphes considérés. Nous nous intéressons ensuite au color coding dans un contexte plus général, proposant de nouvelles stratégies randomisées qui apportent une garantie d’amélioration. Ces stratégies s’appuient sur un ordonnancement du graphe et introduisent un biais dans la loi de probabilité pour augmenter les chances de trouver une solution optimale.

This thesis deals with elementary path problems and their application to the kidney exchange problem. We focus on kidney exchange programs including altruistic donors, which are crucial for patients with renal disease and challenging for operations research methods. The goal of this work is to develop an efficient algorithm that can be used to solve future instances, which are likely to involve a large number of donors and patients. While we progress on this topic, we encounter closely related problems on packing, vehicle routing and stable set. For this last problem, we introduce a new extended formulation and prove it is ideal and compact for claw-free perfect graphs by characterizing its polytope. We then concentrate on the design of a column generation dedicated to the kidney exchange problem and confront its NP-hard pricing problem. The specific problem that we address is the elementary path problem with length constraint, which models the search for interesting chains of donation to add during the pricing step. We investigate dynamic approaches, in particular the NG-route relaxation and the color coding heuristic, and improve them by exploiting the length constraint and sparsity of graphs. We study the color coding in a more general context, providing a guaranteed improvement by proposing new randomized strategies. They are based on ordering the graph before coloring it and introduce a bias in the probability distribution to increase the probability of finding an optimal solution.