Fundamental equivariants and symmetry preservation in multivariate interpolation and H-bases
Équivariants fondamentaux et préservation de la symétrie dans l’interpolation multivariée et les H-bases
Résumé
Symmetry is ubiquitous in science and art. In this thesis we consider symmetries described by the representation of a finite group. Symmetry adapted bases of polynomial rings are essential in order to preserve and exploit symmetry in algebraic computations. In this work we address three algebraic problems in which symmetry is naturally embedded: multivariate interpolation, ideal interpolation and generation of fundamental equivariants. We make use of symmetry adapted bases to reduce the computations by a factor depending on the size of the group, to reflect the initial symmetries on the provided solutions, and to compute generating sets of equivariants. Interpolation is a prime tool in algebraic computation while symmetry is a qualitative feature that can be more relevant to a mathematical model than the numerical accuracy of the parameters. We show how to exactly preserve symmetry in multivariate interpolation while exploiting it to alleviate the computational cost. We revisit minimal degree and least interpolation with symmetry adapted bases, rather than monomial bases. This allows to construct bases of invariant interpolation spaces in blocks, capturing the inherent redundancy in the computations. We show that the so constructed symmetry adapted interpolation bases alleviate the computational cost of any interpolation problem and automatically preserve any equivariance of this interpolation problem might have. Multivariate Lagrange and Hermite interpolation are examples of ideal interpolation. More generally, an ideal interpolation problem is defined by a set of linear forms, on the polynomial ring, whose kernels intersect into an ideal. For an ideal interpolation problem with symmetry, we address the simultaneous computation of a symmetry adapted basis of the least interpolation space and the symmetry adapted H-basis of the ideal. Beside its manifest presence in the output, symmetry is exploited computationally at all stages of the algorithm. Symmetry adapted bases are indeed made of fundamental equivariants and these form finitely generated modules over the invariant ring. In this work we offers algorithms to compute relevant sets of generators of these modules, together with generators for the ring of invariants. We show how the ideal interpolation theory that we developed can be applied to compute the generating invariants and equivariants of a reflection group. Given a set of primary invariants for any representation of a finite group, we apply the algorithms in Chapters 3 and 4 to compute both a set of secondary invariants; and free bases of all fundamental equivariant modules. We propose a new algorithm to compute a set of generating invariants simultaneously to the generating equivariants.
La symétrie est omniprésente dans la science et l’art. Dans cette thèse, on considère les symétries décrites par la représentation d’un groupe fini pour aborder trois problèmes algébriques dans lesquels la symétrie apparait naturellement : l’interpolation multivariée, l’interpolation idéale et le calcul des invariants et équivariants fondamentaux. Les bases adaptées à la symétrie des anneaux polynomiaux sont essentielles afin de préserver et d’exploiter la symétrie dans ces calculs algébriques. On les utilise pour réduire les calculs d’un facteur qui dépend de la taille du groupe, refléter les symétries initiales sur les solutions fournies, et calculer des ensembles générateurs d’équivariants. L’interpolation est un outil de premier ordre en calcul algébrique tandis que la symétrie est une caractéristique qualitative qui peut être plus pertinente pour un modèle mathématique que la précision numérique des paramètres. On montre comment préserver exactement la symétrie dans l’interpolation multivariée tout en l’exploitant pour alléger le coût de calcul. On revisite l’interpolation de degré minimal et la moindre interpolation avec des bases adaptées à la symétrie, plutôt que la base monomiale. Cela permet de construire des bases d’espaces d’interpolation invariants par blocs et qui capturent la redondance des calculs dus à la symétrie. On montre que les bases d’interpolation adaptées à la symétrie ainsi construites allègent le coût de calcul de tout problème d’interpolation et préservent automatiquement toute équivariance que celui-ci pourrait avoir. Les interpolations multivariées de Lagrange et Hermite sont des exemples d’interpolation idéale. Plus généralement, un problème d’interpolation idéal est défini par un ensemble de formes sur l’anneau polynomial, dont les noyaux se croisent en un idéal. Pour un problème d’interpolation idéal avec symétrie, on aborde le calcul d’une base adaptée à la symétrie du moindre espace d’interpolation et d’une H-base l’idéal adaptée à la symétrie. Outre sa présence manifeste dans la sortie, la symétrie est exploitée à toutes les étapes de l’algorithme. Les bases adaptées à la symétrie sont constituées d´équivariants fondamentaux et ceux-ci forment des modules sur l’anneau des invariants. Dans cette thèse, on propose trois algorithmes pour calculer des ensembles générateurs pertinents de ces modules, ainsi que des ensembles générateurs pour l’anneau des invariants. On montre comment la théorie de l’interpolation idéale qu’on a développée peut-être appliquée pour calculer les invariants et les équivariants générateurs d’un groupe de réflexion. Etant donné un ensemble d’invariants primaires pour toute représentation d’un groupe fini, on applique les algorithmes des chapitres 3 et 4 pour calculer en même temps un ensemble d’invariants secondaires et des bases libres pour tous les modules équivariants fondamentaux. On propose un nouvel algorithme pour calculer un ensemble d’invariants générateurs simultanément aux équivariants générateurs.
Domaines
Géométrie algébrique [math.AG]
Origine : Version validée par le jury (STAR)